3. Теорема Лагранжа

Теорема. Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних его точках, то внутри этого сегмента найдется хотя бы одна точка с такая, что имеет место равенство

Доказательство. На рис. 146 показан график функции Напишем уравнение хорды АВ, воспользовавшись для этого уравнением прямой, проходящей через две точки

Отсюда определяется ордината хорды

Рассмотрим теперь вспомогательную функцию равную разности ординат графика функции и хорды, соответствующих одному и тому же значению

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на сегменте [а, b], так как на нем непрерывны функции Производная

существует в интервале так как в нем существует . На концах сегмента На основании теоремы Ролля внутри сегмента найдется такая точка в которой . На основании равенства (90) находим:

Отсюда

что и требовалось доказать.

Теорему Лагранжа можно геометрически пояснить следующим образом. Рассмотрим график функции удовлетворяющей условиям теоремы (см. рис. 146). Отношение представляет собой угловой коэффициент хорды АВ, соединяющей концы дуги. Так как а есть угловой коэффициент касательной, то теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги. Формулу (89) часто переписывают в виде

Это равенство читается следующим образом.

Приращение дифференцируемой функции на сегменте равно длине сегмента (т. е. приращению аргумента), умноженной на значение производной от этой функции в некоторой внутренней точке сегмента.

Формулу (91) называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении.

Пример. Функция задана на сегменте [0; 1]. Определить значение при котором касательная к графику параллельна хорде, стягивающей концы дуги графика.

Решение. Так как то по формуле (91) находим

Так как, с другой стороны, и, следовательно, то

Как известно, производная постоянной равна нулю. Докажем с помощью теоремы Лагранжа обратное предложение.

Теорема. Если функция непрерывна на сегменте и имеет во всех его внутренних точках производную то функция постоянна на сегменте

Доказательство. Пусть — произвольная точка сегмента, совпадающая с точкой а. Напишем формулу Лагранжа (91) применительно к сегменту где с — некоторая точка между а и х. Так как с принадлежит сегменту то Следовательно, для произвольной точки сегмента а это означает, что функция постоянна на сегменте

Следствие. Если производные двух функций равны во всех точках сегмента , то разность этих функций постоянна на этом сегменте.

Доказательство. Пусть Тогда так как по условию . Следовательно, на основании только что доказанной теоремы постоянна на сегменте