2. Преобразование координат

Рассмотрим в плоскости Q прямоугольную систему координат с основными ортами Наряду с системой координат , которую будем называть старой, рассмотрим новую систему координат с ортами Начало координат старой и новой систем совпадают (рис. 79).

Рис. 79

Возьмем в плоскости Q произвольную точку УИ.

Пусть ее координаты в старой системе координат суть в новой Найдем связь между старыми и новыми координатами. Для этого разложим радиус-вектор ОМ точки М на составляющие по осям в новой и старой системах координат:

Таким образом,

Умножим обе части равенства (109) скалярно на Принимая во внимание, что получим

Умножая обе части равенства (109) скалярно на получшл аналогично

Введем обозначения:

Тогда уравнения (110) и (111) запишутся в виде:

Формулы (113) называются формулами преобразования, координат на плоскости. Матрица

называется матрицей преобразования.

Рассмотрим матрицы-столбцы . Тогда преобразование координат (113) в матричной форме запишется в виде

Установим некоторые свойства матрицы L. Прежде всего найдем разложение векторов и на составляющие по осям . Так как , то

Формулы (115) дают разложение векторов по векторам . Аналогично получим разложение ортов на составляющие по осям :

Так как то, принимая во внимание формулы (115), получим

Аналогично, так как , то из формул (116) получим

Иными словами, матрица L обладает следующими свойствами: сумма квадратов элементов строки (или столбца) равна единице, сумма парных произведений элементов строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю. Матрица, обладающая этими свойствами, называется ортогональной.

Рассмотрим транспонированную матрицу , которая получается из матрицы L заменой строк столбцами. Составим произведение матриц . Принимая во внимание равенства (117) и (118), получим:

Таким образом, матрица L является обратной по отношению к матрице

Замечание. Если новая система координат получена из старой системы поворотом осей на угол а, то легко видеть, что формулы (113) аналогичны формулам поворота осей координат, рассмотренным в гл. I, § 6, п. 2.

Действительно, в этом случае (см. рис. 79)

и, следовательно, формулы (113) принимают вид:

Пусть в старой системе координат задано линейное отображение (98) плоскости Q в себя:

с матрицей отображения

Как мы знаем, это отображение можно записать в матричной форме (99)

где Здесь — координаты точки М, а — координаты ее образа в старой системе координат. Пусть — координаты точки М, а — координаты ее образа в новой системе координат. Тогда по формулам (113) получим

и аналогично

Если ввести матрицы-столбцы и матрицупреобразования то формулы преобразования можно, как мы знаем, записать в следующей матричной форме:

Найдем теперь зависимость между координатами точки М и ее образа в новой системе координат . Для этого подставим в уравнение (99) выражения X и Y по формулам (120):

(121)

Умножим обе части этого матричного равенства на матрицу , обратную матрице L. Замечая, что получим

Таким образом, координаты точки М и координаты ее образа в новой системе координат связаны формулой (122), которая показывает, что в новой системе координат линейное отображение плоскости Q самой в себя имеет матрицу

Итак, в новой системе координат линейное отображение имеет следующий вид:

Матрица этого отображения связана со старой матрицей А соотношением

Все сказанное для случая плоскости легко переносится на случай пространства.

Пусть - две прямоугольные системы координат в пространстве с общим началом О и с основными ортами соответственно

Положим

Например, .

Тогда аналогично предыдущему получим формулы преобразования координат:

с матрицей преобразования

Можно показать, что матрица L ортогональна, а

Если в старой системе координат задано линейное отображение

с матрицей , то в новой системе координат матрица линейного отображения определяется формулой