ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

В гл. VI, § 9 была поставлена задача интерполирования и выведена интерполяционная формула Лагранжа. Однако во многих случаях удобнее пользоваться записью интерполяционного многочлена в другой форме — в форме Ньютона. Прежде чем выводить интерполяционную формулу Ньютона, дадим некоторые общие понятия.

1. Разности и их свойства

Пусть дана функция . Рассмотрим ряд равноотстоящих значений независимой переменной образующих арифметическую прогрессию с разностью . Пусть значения функции соответственно в точках

Величины

Разности

называются разностями первого порядка, или первыми разностями, и обозначаются соответственно через или

Таким образом,

называются разностями второго порядка, или вторыми разностями.

Аналогично определяются разности третьего порядка

и вообще разности порядка :

Все разности можно расположить в виде таблицы.

Таблица 1

Табл. 1 называется диагональной таблицей разностей с шагом h. В каждом столбце этой таблицы разности записываются между соответствующими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

Пример 1. Составить диагональную таблицу разностей с шагом для функции считая

Решение приведено в табл. 2.

Таблица 2

Укажем следующие очевидные свойства разностей.

1. Разность постоянной равна нулю, т. е.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак разности, т. е.

3. Разность суммы нескольких функций равна сумме разностей этих функций, т. е.

Предлагаем эти свойства доказать читателю.

Рассмотрим первую разность степенной функции

По формуле бинома Ньютона (см. сноску на стр. 184)

Следовательно,

Таким образом, разность степенной функции есть многочлен степени с коэффициентом при . В частности, есть многочлен первой степени, а — многочлен нулевой степени, т. е. постоянная Рассмотрим теперь многочлен степени

Найдем его первую разность. Используя свойства разностей, получим

Согласно предыдущему, есть многочлен степени — многочлен степени — постоянная, Следовательно, есть многочлен степени с коэффициентом при старшей степени, равным

Взяв разность от первой разности , получим разность второго порядка которая согласно предыдущему будет многочленом степени

Таким образом, степень каждой последующей разности уменьшается на единицу. Следовательно, разность порядка будет многочленом нулевой степени, т. е. постоянной. Очевидно, все последующие разности равны нулю.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Разность порядка многочлена степени при условии, что переменная получает равные приращения h, есть величина постоянная. Все последующие разности равны нулю.

Диагональная таблица разностей, составленная для функции (см. табл. 2) иллюстрирует эту теорему. Имеет место и обратное предложение, которое мы приводим без доказательства.

Теорема 2. Если разности порядка при условии, что аргумент получает постоянное приращение h, для некоторой функции постоянны, то эта функция есть многочлен степени.

Теорема 2 имеет большое практическое значение. Она позволяет заменить функцию многочленом, если разности ее какого-либо порядка становятся постоянными или мало отличаются от постоянных.

Пример 2. Рассмотрим таблицу значений интеграла вероятностей и составим разности функции (см. табл. 3).

Таблица 3

Мы видим, что вторые разности почти постоянны. Поэтому на рассматриваемом участке данная функция ведет себя приблизительно как многочлен второй степени.

2. Интерполяционна а формула Ньютона

Как мы знаем, (см. гл. VI, § 9), задача интерполирования для многочленов формулируется следующим образом: найти многочлен степени если известны его значения в узлах интерполяции

Как было показано в гл. VI, § 9, эта задача имеет единственное решение. Здесь мы рассмотрим тот частный случай, когда узлы интерполяции равлоотстоят друг от друга, т. е. образуют арифметическую прогрессию, разность которой обозначим через

Запишем искомый многочлен в виде

Для нахождения коэффициентов будем последовательно подставлять в формулу и т. д.

При получим . Итак,

При . Следовательно,

При . Следовательно, . Подставив вместо и их выражения, получим или

Так как

то . Отсюда .

Аналогично найдем вообще —

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу получим искомый многочлен

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона. В частности, при получим многочлен первой степени — линейную интерполяционную формулу:

При получаем параболическую или квадратичную интерполяционную формулу:

Интерполяционной формуле Ньютона можно придать несколько другой вид, более удобный для практического применения. Положим Тогда

читывая этиравенства, формулу (2) можно зайисать в следующем виде:

В частности, формулы (3) и (4) примут вид:

Предположим теперь, что для некоторой функции разности порядка постоянны или почти постоянны. Это значит, что на некотором отрезке функция ведет себя как многочлен степени (см. п. 1. теорема 2, пример 2). Заменяя данную функцию интерполяционным многочленом значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции , получим приближенное равенство

или

Обозначим через разность Эта разность дает погрешность приближения функции интерполяционным многочленом степени . Доказывается, что

или, полагая

В частности, для линейной интерполяции формула (11) примет вид

Формулы (8) или (9) применяют обычно для значений лежащих в интервале . Поэтому . Как легко показать, на отрезке выполняется неравенство Поэтому

Итак, если первые разности почти постоянны, то погрешность линейной интерполяции не превосходит одной восьмой абсолютной величины второй разности. Рассмотрим пример на применение интерполяционной формулы Ньютона.

Пример 3. В табл. 3 приведены значения интеграла вероятностей . Найти значение при

Решение. Так как вторые разности почти постоянны, то на рассматриваемом участке ведет себя приблизительно как многочлен второй степени. Поэтому . В частности, Так как число 0,75 содержится между 0,7 и 0,8, то принимая за из табл. 3 находим Учитывая, что и применяя формулу (7), найдем

Подсчитаем погрешность приближения, применяя формулу (И) для случая

Так как , то

Итак, применение интерполяционного многочлена второй степени не вносит погрешности при вычислениях с точностью до пятого знака после запятой.

3. Численное дифференцирование

Задача численного дифференцирования заключается в следующем: дана таблица значений некоторой функции Требуется найти значение ее производной, в некоторой точке.

Суть метода состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом , который дифференцируем необходимое число раз. При этом, естественно, чем меньше расстояния между узлами интерполяции, тем точнее полученный результат. Если таблица значений функции составлена неравноотстоящих значений аргумента, то следует пользоваться интерполяционной формулой Лагранжа. Если же таблица составлена для равноотстоящих значений аргумента, то пользуются интерполяционными формулами Ньютона.

Пусть, например, функция заменяется многочленом с помощью интерполяционной формулы Ньютона (см. п. 2):

где . Здесь функция заменяется функцией в которой независимой переменной является t. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Так как , то формула (15) запишется в виде

Отсюда

Аналогично найдем, что

и вообще

Таким образом, дифференцируя правую часть соотношения (14) и применяя формулы (16) и (17), найдем

Пример. Найти первую и вторую производные при х = 0,15 от функции, заданной табл. 4.

Таблица 4

Решение. Здесь . Так как то за 0 берем 0,1. Итак,

Применяя формулы (18) и (19), получим

Итак,

Табл. 4 составлена для функции . Следовательно, Значения производных в точке с точностью до 0,0001 таковы: . Следует заметить, что чем выше порядок производной, тем выше порядок разности, с которой начинается формула для производной и, следовательно, тем больше сказываются ошибки в значениях функции. Поэтому вторая производная в нашем примере оказалась вычисленной менее точно.

Замечание. Часто вместо формул (18) и (19) для нахождения производных применяют менее точные формулы:

Покажем, например, справедливость первой из формул (20). Из определения производной следует, что . Поэтому при малых h имеет место приближенное равенство Аналогично проверяется справедливость остальных формул.