3. Интегрирование по частям

Пусть — две функции от х, имеющие непрерывные производные. Из дифференциального вычисления мы. знаем (см. гл. VI, формула (65)), что

Интегрируя обе части равенства (10), имеем

или

Но поэтому

В формуле (11) произвольной постоянной С мы не пишем, так как в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Формула (11) называется формулой интегрирования по частям.

Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который во многих случаях оказывается более простым.

Поясним применение этого метода примерами.

Пример 1. Найти

Решение. Здесь перед нами несколько возможностей. Например, можно положить можно положить

Полагая найдем Применяя формулу (11), получаем

Это разбиение подынтегрального выражения на произведение двух множителей следует признать неудачным, так как оно приводит к более сложному интегралу.

Положим отсюда найдем Применяя формулу (11), имеем

Но . Поэтому окончательно получаем

Иногда для получения окончательного результата нужно интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.

Укажем на некоторые часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида

где - многочлен, a - некоторое число.

Интегралы этих типов берутся по частям, если положить

Пример 2. Найти .

Решение. Положим тогда .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Последний интеграл является интегралом того же типа, что и данный интеграл, но степень многочлена на единицу ниже степени многочлена

Применяем к интегралу снова интегрирование по частям, полагая тогда Имеем

Следовательно,

II. Интегралы вида

где - многочлен относительно

Во всех этих случаях за и при интегрировании по частям принимают функцию, являющуюся множителем при

Пример 3. Найти

Решение. Положим тогда

Формула (11) дает:

III. Интегралы вида , где а и b — числа. Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.

Рассмотрим пример.

Пример 4. Найти

Решение. Положим откуда

Тогда

К последнему интегралу снова применим интегрирование по частям, положив тогда

Следовательно,

Таким образом,

или

В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл . Перенося его в левую часть, получим

Отсюда

Полученная функция есть одна из первообразных от функции . Чтобы найти все первообразные, остается к правой части прибавить произвольную постоянную С:

Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.