6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Изучим теперь некоторые свойства графика функции, связанные с понятиями выпуклости и вогнутости.

Определение 1. График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Определение 2. График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале , если он расположи выше любой своей касательной на этом интервале.

Рис. 155

Рис. 156

На рис. 155 изображены выпуклый и вогнутый графики функций.

Так, например, полуокружность будет выпукла на сегменте а парабола вогнута в интервале

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других — вогнутым. Например, график функции , рассматриваемый в интервале от 0 до будет выпуклым в интервале (0, я) и вогнутым в интервале (см. рис. 124).

Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий устанавливать, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть функция имеет вторую производную во всех точках интервала . Если во всех точках этого интервала то график функции в этом интервале выпуклый, если же — вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, что и докажем, что график будет выпуклым. Возьмем на графике функции произвольную точку с абсциссой принадлежащей интервалу и проведем через точку касательную (рис. 156). Для доказательства теоремы мы должны установить, что график функции в интервале расположен ниже этой касательной.

Другими словами, мы должны показать, что для одной и той же абсциссы ордината кривой будет меньше ординаты касательной. Уравнение графика будет Уравнение касательной в точке имеет вид

Здесь через У обозначена ордината касательной, соответствующая абсциссе

Разность ординат графика и касательной при одной и той же абсциссе будет:

или

Разность преобразуем по формуле Лагранжа (91):

где с заключено между

Тогда

Разность снова преобразуем по формуле (91), применяя ее к производной

где заключено между и с, а следовательно, между . Подставляя выражение для разности в равенство (96), получим Разности имеют одинаковый знак, так как с заключено между следовательно, их произведение

Так как по условию на интервале , то, в частности, . Поэтому . Итак, доказано, что для всех точек интервала ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график выпуклый.

Аналогично доказывается, что при график будет вогнутый.

Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Рассмотрим теперь, как находятся точки перегиба графика функции.

Пусть в точке функция непрерывна. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).

Если вторая производная меняет свой знак при переходе через то в точке с абсциссой график функции имеет точку перегиба.

Доказательство. Пусть, например, при при . В этом случае слева от график выпуклый, а справа от - вогнутый.

Следовательно, точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости, т. е. точка графика функции является точкой перегиба (рис. 157).

В самой точке вторая производная либо непрерывна, либо разрывна. В случае непрерывности так как по условию теоремы при переходе через меняет свой знак.

Рис. 157

Поэтому точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль, или разрывна (в частности, не определена).

Пример. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции

Решение. Находим производные: Приравниваем вторую производную нулю и находим ее корень: откуда Замечая, что при а при заключаем, что в интервале график функции выпуклый, а в интервале вогнутый. Следовательно, при график функции имеет точку региба (см. рис. 148).