2. Геометрическая прогрессия

Одним из простейших, но очень часто встречающихся рядов, является геометрическая прогрессия:

а называется первым членом прогрессий, а множитель - знаменателем прогрессии.

Сумма первых членов ( частичная сумма) прогрессии, как известно, может быть вычислена при по формуле

1) Если то при (см. гл. V, § 1, п. 8), пример 6) и

Таким образом, при геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, сумма которого

2) Если то при (см. гл. V, § 1 п. 8) и

Следовательно, в этом случае ряд расходится.

3) Если то ряд (7) принимает вид

Для него и при т. е. ряд расходится.

4) Если то ряд (7) принимает вид

В этом случае при четном и при нечетном. Следовательно, при не существует и ряд расходится.

Итак, геометрическая прогрессия является сходящимся рядом при и расходящимся при