2. Полярные координаты

В п. 1 § 2 рассматривались прямоугольные декартовы координаты точки на плоскости. Однако можно построить много других систем координат, позволяющих определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Рассмотрим на плоскости ось (т. е. прямую, имеющую начало, положительное направление и масштабную единицу) (рис. 12). Назовем эту ось полярной осью, а ее начало О — полюсом.

Пусть М — любая точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Проведем через эту точку и полюс ось начало которой совпадает с полюсом; положительное направление выбрано от полюса к точке М, а масштабная единица — та же, что и на полярной оси.

Рис. 12

(В частном случае, если точка М лежит на положительной части полярной оси, то ось совпадает с полярной осью если же точка М лежит на отрицательной части полярной оси, то оси имеют противоположные направления.) Обозначим координату точки М на оси через и назовем ее полярным радиусом точки М. Угол между полярной осью и осью обозначим через и назовем его полярным углом точки М. Для данной точки М угол определяется неоднозначно (с точностью до слагаемого вида , где k — любое целое число). В дальнейшем, если не будет специально оговорено, из всех этих значений выбираем то, которое удовлетворяет условию

Тогда каждой точке плоскости, не совпадающей с полюсом, будет соответствовать вполне определенное и единственное значение полярного угла . Полярный радиус для такой точки также имеет вполне определенное значение, он всегда положителен (так как положительное направление на оси выбирается от полюса О к точке М) и равен расстоянию этой точки от полюса. Обратно, если мы знаем, что точка М имеет полярный угол и полярный радиус , то мы можем построить эту точку. Для этого достаточно провести через полюс ось под углом к полярной оси l и построить на оси точку, имеющую координату .

Таким образом, полярный угол и полярный радиус любой точки М плоскости, за исключением полюса, вполне определяют положение этой точки на плоскости. Числа называются полярными координатами точки М. Полюс находится в особом положении. Для него ось не имеет определенного направления и, следовательно, полярный угол не существует. Полярный радиус полюса равен нулю, и эта единственная координата вполне определяет положение полюса.

Условимся писать в том случае, когда является полярным углом, а — полярным радиусом точки М.

Пример 1. Построить в полярной системе координат точки

Решение. Для построения первой точки проводим ось под углом к полярной оси l (рис. 13) и отмечаем на этой оси точку с координатой 2. Остальные точки строятся аналогично: проводятся оси образующие с полярной осью соответственно углы а затем на оси строится точка с координатой 1, на оси -точка с координатой 3 и на оси - точка с координатой 2.

Рис. 13

Рис. 14

Замечание. Положительное направление оси выбрано нами от полюса к точке М. В некоторых случаях положительным направлением оси удобнее считать противоположное направление, от точки М к полюсу. Тогда полярный радиус точки М будет, очевидно, отрицательным. Обратно, если задано отрицательное значение полярного радиуса точки , то это значит, что положительное направление оси выбрано от точки М к полюсу. Пример 2. Построить в полярной системе координат точку

Решение. Проводим ось под углом к полярной оси (рис. 14) и строим на оси точку М с отрицательной координатой