2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области G и дифференцируема внутри этой области.

Тогда она имеет в этой области наименьшее и наибольшее значения (см. § 2, п. 5), которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Если наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области G, то эти точки, очевидно, будут точками экстремума функции . Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее или наименьшее значения, будут либо точками экстремума функции, либо граничными точками области

Мы приходим к следующему правилу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области G, следует найти значения функции в критических точках этой области, а также ее наибольшее и наименьшее значения на границе области G. Наибольшее из всех этих значений будет наибольшим значением функции в области G. Наименьшее из тех же значений функции будет ее наименьшим значением в области

В некоторых случаях при нахождении наибольших и наименьших значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области границу этой области удобно разбить на части, каждая из которых задается своими уравнениями.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

Решение. Находим первые частные производные

Решая систему уравнений

получим одну критическую точку , в которой значение функции равно нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе, т. е. на окружности Так как на окружности переменные х и у связаны соотношением то для точек окружности функцию можно представить как функцию одной переменной х: причем Итак, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на окружности мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на сегменте Находим критические точки функции в интервале и вычисляем значения функции в этих точках и на концах интервала (см. гл. VI, § 7, п. 4): . Отсюда имеем критическую точку Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное —4.

Итак, наибольшее значение функция в круге принимает в точках окружности и наименьшее в точках той же окружности.

Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на окружности можно найти иначе.

Представим уравнения окружности в параметрическом виде:

Тогда Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции на сегменте . Для этого, продифференцировав функцию получим . Составив уравнение находим три критические точки лежащие внутри указанного сегмента. Вычислив значения функции в этих точках, а также на концах сегмента заметим, что получаются лишь два различных между собой значения функции: (наименьшее значение функции) и (наибольшее значение функции).