4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла как предела интегральной суммы, так же как и в случае определенного интеграла, связано обычно с большими трудностями. Чтобы их избежать, вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Покажем, как это делается. Для простоты при выводе ограничимся случаем, когда в области интегрирования а подынтегральная функция . Такое предположение позволяет нам рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела.

Итак, требуется вычислить двойной интеграл от непрерывной функции .

Предположим сперва, что область интегрирования а ограничена двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми причем для всех значений заключенных между а и имеет место неравенство (рис. 231).

Проведем через точку оси прямую, параллельную Эта прямая встречает кривые, ограничивающие область а, соответственно в точках Точку будем называть точкой входа, а точку — точкой выхода. Их ординаты обозначим соответственно и увых. Ордината точки входа равна а ордината точки выхода равна Известно, что двойной интеграл численно равен объему V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности , которая проектируется в площадку а (см. рис. 227):

Рис. 231

Подсчитаем теперь объем У цилиндрического тела иначе, а именно, с помощью метода поперечных сечений (см. гл. VIII, § 3, п. 3).

Как мы знаем, если сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, проходящей через точку с абсциссой имеет площадь , то объем V тела выражается формулой

Применим эту формулу к вычислению объема цилиндрического тела. Проведя через точку плоскость, перпендикулярную оси мы получим в сечении криволинейную трапецию (рис. 232). Аппликата точек линии МХМ при постоянном является функцией только от причем у изменяется в границах от до увых Площадь трапеции очевидно, равна определенному интегралу:

Итак, формула (7) выражает площадь поперечного сечения цилиндрического тела.

Подставляя в формулу (6) выражение для получим

Но так как, с другой стороны, объем V цилиндрического тела равен двойному интегралу то имеем

или

Эта и есть искомая формула.

Рис. 232

Поясним смысл формулы (I). Для того чтобы вычислить двойной интеграл нужно сперва вычислить определенный интеграл считая постоянным (или, как говорят, вычислить внутренний интеграл).

Нижней границей интегрирования является ордината точки входа а верхней границей интегрирования является ордината точки выхода увых соответствующие данному фиксированному значению Результат вычисления этого интеграла является функцией только от Интегрируя теперь эту функцию в границах от а до b, получим значение двойного интеграла. Сделаем следующие замечания.

Замечание 1.

Если область о ограничена двумя кривыми двумя горизонтальными прямыми причем для всех у между (рис 233), то аналогично можно доказать, что имеет место равенство

или

Здесь при внутреннем интегрировании у следует считать постоянным. Результат этого интегрирования будет функцией от у, которую затем следует проинтегрировать в границах от с до d.

Рис. 233

Рис. 234

Интегралы, стоящие в правых частях формул (I) и (II), называют повторными или двукратными интегралами.

Замечание 2. Следует обратить внимание на то, что в формулах (I) и (II) границы внешнего интеграла всегда постоянны.

Замечание 3. Формулы (I) и (II) выведены в предположении, что область а имеет специальный вид. Если контур области а более сложный (рис. 234), то поступают так: область разбивают на конечное число частей, удовлетворяющих условиям, при которых была выведена формула (I) или (II). Затем вычисляют интеграл по формуле (I) или (II) для каждой из таких областей. Интеграл же по всей области, в силу свойства аддитивности, равен сумме интегралов по каждой из этих частей. Для случая, приведенного на рис. 234, имеем:

Замечание 4.

Если областью интегрирования а служит прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 235), то формулы (I) и (II) для этого случая примут вид:

Рассмотрим примеры на вычисление двойных интегралов. Пример 1. Вычислить двойной интеграл если областью интегрирования а является треугольник, ограниченный прямыми (рис. 236).

Рис. 235

Рис. 236

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (I), то здесь как точки входа лежат на оси Ох, а точки выхода — на прямой

Поэтому, применяя формулу (I), имеем

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем постоянным:

Следовательно,

Применяя для вычисления двойного интеграла формулу (II), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае (так как точка входа лежит на прямой или , а точка выхода на прямой (см. рис. 236), получим

Так как

то

Если принять во внимание геометрический смысл двойного интеграла, то дает объем V цилиндрического тела, ограниченного сверху частью параболоида вращения которая проектируется на плоскость в треугольник .

Рис. 237

Пример 2. Вычислить двойной интеграл если область интегрирсвания а ограничена линиями (рис. 237).

Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (I). Здесь . Поэтому

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем я постоянным:

Следовательно,

Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (II), то придется область интегрирования а разбить на две части и (см. рис. 237), так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности

Применяем формулу (II) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства:

так как Вычисляем внутренний интеграл, помня, что у — постоянно:

Следовательно,

Аналогично находим

Следовательно,

Таким образом, окончательно,

Этот пример показывает, что для нахождения двойного интеграла в данном конкретном случае выгоднее применить формулу (I). Это следует иметь в виду при вычислении двойных интегралов и пользоваться той из формул (I) или (II), применение которой ведет к менее громоздким вычислениям.