4. Общее уравнение прямой и его частные случаи

Мы видели, что уравнение прямой имеет вид (2), если прямая не параллельна оси Оу, или (6), если прямая параллельна оси ординат. Каждое из этих уравнений есть уравнение первой степени относительно текущих координат. Поэтому можно считать доказанной следующую теорему.

Теорема. Уравнение прямой линии в декартовой системе координат есть уравнение первой степени.

Покажем, что имеет место обратная теорема.

Теорема. Любое уравнение первой степени относительно декартовых текущих координат есть уравнение прямой линии.

Доказательство. Пусть дано уравнение первой степени относительно декартовых координат:

Возможны два случая. Тогда уравнение (7) равносильно уравнению

Рассмотрим прямую, отсекающую на оси отрезок образующую с осью такой угол а, для которого Для такой прямой уравнение (8) будет уравнением прямой с угловым коэффициентом. Это значит, что уравнение (8), а следовательно, и уравнение (7), является уравнением прямой.

2) Пусть теперь тогда уравнение имеет вид

При этом (так как иначе мы имели бы не уравнение, а тождество Поэтому уравнение (9) равносильно уравнению

Но это уравнение есть уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку . Уравнение (9), равносильное (10), также является уравнением этой прямой.

Итак, теорема доказана.

Определение. Уравнение вида (7) называется общим уравнением прямой в декартовой системе координат.

Замечание. В дальнейшем, если будет сказано «дана прямая», или «найти прямую», то это будет означать, что дано или что требуется найти ее уравнение.

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда один или несколько коэффициентов в общем уравнении прямой равны нулю.

1) В = 0. Такой случай уже рассматривался. Уравнение прямой приводится к виду (10)

Если при этом , то прямая параллельна оси ординат. Если же , то уравнение имеет вид

и прямая совпадает с осью ординат.

2) А = 0. Уравнение прямой приводится к виду

Это есть уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. В частности, при , получаем уравнение оси абсцисс

3) с = 0. Уравнение прямой имеет вид

Легко проверить, что уравнению (11) удовлетворяют координаты начала . Следовательно, прямая в этом случае проходит через начало координат.