15. Неявные функции и их дифференцирование

Рассмотрим уравнение

В нем каждому значению соответствует такое единственное значение у, что если эти значения х и у подставить в уравнение (42), превратится в тождество. Например, значению соответствует значение так как при подстановке этих значений х и у в уравнение (42) мы получим тождество Аналогично, значению соответствует значение значению — значение и т. д. Иными словами, у здесь является функцией заданной уравнением (42), не разрешенным относительно у. Эта функция называется неявной.

Рассмотрим уравнение

Здесь каждому значению из интервала соответствуют два вполне определенных значения у, которые совместно с удовлетворяют уравнению (43). Например, значению соответствуют два значения у: . Если в уравнение (43) значения и (или ), то это уравнение превратится в тождество. Аналогично, значению соответствуют два значения у. значению значения у: и т. д.

Таким образом, мы имеем здесь две непрерывные функции, заданные уравнением (43), не разрешенным относительно у. Каждая из функций называется неявной.

Пусть, в общем случае, дано уравнение

связывающее переменные х и у и не разрешенное относительно у. Если в некотором интервале или сегменте каждому значению соответствует единственное значение у, которое совместное удовлетворяет уравнению (44), то мы будем говорить, что это уравнение задает (определяет) неявную функцию

Таким образом, для любой неявной функции заданной уравнением (44), имеет место тождество

справедливое для всех из области определения этой неявной функции.

Замечание. В некоторых случаях каждому значению из данного интервала или сегмента соответствуют несколько значений у. В таких случаях уравнение (44) определяет не одну, а несколько неявных функций.

В отличие от неявной функции функция

заданная уравнением, разрешенным относительно у, называется явной.

Вернемся к рассмотренным примерам. Уравнение (42) можно разрешить относительно у:

Эта функция — явная. Разумеется, это та же самая функция, которая ранее была задана неявно уравнением (42). Она тождественно удовлетворяет уравнению (42). В самом деле, подставив в уравнение (42) вместо у его выражение из формулы (45), получим

Этот результат не случаен. Ведь функция у, заданная уравнением (42), должна принимать такие значения, которые вместе с соответствующими значениями удовлетворяют этому уравнению, т. е. превращают его в тождество. Уравнение (43) определяет две неявные элементарные функции: каждая из которых, будучи подставлена в уравнение (43), превращает его в тождество.

Не следует, однако, думать, что всякую неявную функцию можно представить в виде явной элементарной функции. Например, уравнение

задает неявную функцию у, так как существуют пары значений х и у, удовлетворяющие этому уравнению (например, и т. д.). Но уравнение (46) нельзя разрешить относительно у так, чтобы у выражался через элементарные функции от аргумента

Не всякое уравнение задает неявную функцию. Например, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х и у, и, следовательно, оно не определяет никакой неявной функции. В гл. IX будет выяснено, при каких условиях уравнение задает неявную функцию. В некоторых случаях неявная функция задается уравнением, правая часть которого не равна нулю. Например, уравнение эллипса задает две неявные элементарные функции, которые в явном виде выражаются так:

Покажем на конкретном примере, как, не разрешая уравнение (43) относительно у, можно найти производную неявной функции. При этом мы будем предполагать, что неявная функция дифференцируема.

Пример. Найти производную неявной функции у, заданной уравнением

Решение. Уравнение (47), если в нем у считать заданной неявной функцией я, является тождеством относительно я.

Если две функции тождественно равны, то их производные также тождественно равны:

При дифференцировании функции следует рассматривать как сложные функции х, а у — как промежуточный аргумент. Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции и, следовательно,

Решая это уравнение относительно у, получим

Производная неявной функции, как это наглядно видно из разобранного примера, выражается, как правило, в зависимости не только от аргумента, но и от функции.