2. Непрерывность функции нескольких переменных

Понятие непрерывности функции нескольких переменных устанавливается с помощью понятия предела.

Определение. Функция нескольких переменных и называется непрерывной в точке если

Заметим, что функция f(Р), непрерывная в точке должна быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка в которой функция нескольких переменных непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.

Для непрерывных функций справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции переменных и (Р) непрерывны в точке то в той же точке будут непрерывными и их сумма разность и произведение ; если, кроме того, , то частное также непрерывно в точке

Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно аналогично доказательству соответствующей теоремы для функций одной переменной (см. гл. V, § 2, п. 2).

На основании приведенной теоремы легко установить непрерывность многих функций, например непрерывность многочлена относительно двух независимых переменных в любой точке плоскости непрерывность рациональной функции во всех точках плоскости, в которых знаменатель не обращается в нуль.