5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

Приведем примеры на разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.

1. Разложение в степенной ряд функции . Находим производные: . При имеем:

Напишем ряд Маклорена для функции воспользовавшись формулой (82):

Определим область сходимости этого ряда, применяя признак Даламбера:

Следовательно, для любого , т. е. ряд (91) сходится абсолютно на всей числовой оси.

Для того чтобы установить, что этот ряд имеет своей суммой функцию , покажем, что для любого стремится к нулю при . Напишем остаточный член ряда Маклорена.

Так как то по формуле имеет вид

где с заключено между 0 и Функция монотонно возрастает, поэтому так как Таким образом,

Мы только что видели, что ряд с общим членом сходится на всей числовой оси. Поэтому в силу необходимого признака сходимости при любом Но тогда и также стремится к нулю при Следовательно, на основании неравенства Для любого значения и сумма ряда (91) совпадает с функцией е.

Итак, на всей числовой оси имеет место разложение

2. Разложение в степенной ряд функции . Находим производные:

§ 2, п. 1, формула

При имеем:

Принимая во внимание формулу (82), получим для функции следующий ряд Маклорена:

Как легко проверить, полученный ряд сходится на всей числовой оси. Исследуем его остаточный член где с содержится между 0 и . Так как , то Принимая во внимание, что (см. предыдущий пример), заключаем, что

Поэтому для функции на всей числовой прямой имеет место разложение

3. Разложение в степенной ряд функции Разложение функции можно было бы получить приемом, аналогичным тому, с помощью которого было получено разложение в ряд функции . Однако проще получить разложение функции , если почленно продифференцировать разложение :

Следовательно,

Это разложение справедливо на всей числовой оси.

4. Биномиальный ряд. Разложим по степеням функцию где — любое действительное число, отличное от нуля.

Дифференцируя, имеем:

При

Подставляя в формулу (82), получим ряд Маклорена для функции

Этот ряд называется биномиальным. Найдем его интервал сходимости. Применяя признак Даламбера, получим

Мы видим, что ряд сходится при т. е. в интервале — Можно показать, что и в данном случае остаточный член для при стремится к нулю. Однако в связи со сложностью этого доказательства мы его опускаем.

Итак, в интервале имеет место разложение

При если только не является натуральным числом, ряд расходится. На границах интервала сходимости ряд будет сходиться или расходиться в зависимости от конкретных значений . Если — натуральное число, то начиная с все коэффициенты обращаются в нуль, и получаем многочлен, называемый биномом Ньютона (см. в сноске на стр. 184 формулу бинома Ньютона, в которой следует положить

Приведем несколько примеров биномиальных рядов для различных значений

а) . Здесь Применяя формулу (96), получим

или, после упрощений,

Это разложение имеет место во всяком случае для Более подробные исследования показывают, что оно справедливо и при и при (см. сноску.)

б) . Здесь . По формуле (96) получим разложение

справедливое для . Можно показать, что разложение (98) справедливо и для (см. сноску.)

в) . Здесь Применяя формулу (96), получим после упрощений

5. Разложение в степенной ряд функции При функция не определена, поэтому ее нельзя разложить по степеням т. е. в ряд Маклорена. Разложим функцию например, по степеням

Находим производные:

При получим

Применяя формулу (81), получим ряд Тейлора для функции

или, после сокращений,

Применяя признак Даламбера и исследуя ряд на концах, найдем, что он сходится для всех значений удовлетворяющих неравенствам . Можно показать, что для всех значений принадлежащих области сходимости, . Поэтому для имеет место следующее разложение:

Разложение функций в степенной ряд по формулам (81) и (82) часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. Покажем некоторые приемы, позволяющие при разложении функции в степенной ряд, избежать этих трудностей. С одним из таких приемов, основанным на возможности почленного дифференцирования степенного ряда в интервале его сходимости, мы познакомились при разложении функции .

Применение формулы суммы геометрической прогрессии. Рассмотрим функцию Легко видеть, что эта функция является суммой геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и со знаменателем Поэтому

Это разложение имеет место для Заметим, что функцию можно записать в виде и, следовательно, ряд (99) является биномиальным и его можно было бы получить по формуле (96) при

Метод подстановки. Сущность этого метода ясна из следующих примеров.

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию Решение. Положим . Тогда . Напишем разложение функции применив формулу (93):

Это разложение имеет место для всех значений t. В частности, при получим разложение

справедливое для всех значений

Пример 2. Разложить по степеням функцию

Решение. Полагаем Тогда Воспользовавшись формулой (98), получим разложение

справедливое для интервала

Подставив в это разложение вместо t, получим разложение, годное для всех значений из интервала

Пример 3. Разложить по степеням функцию

Решение. Полагая получим . По формуле (99)

Подставив в это разложение вместо t, получим

справедливое для интервала

Разложение в степенной ряд методом интегрирования. Сущность метода заключается в следующем. Допустим, что известно разложение в степенной ряд для производной от функции . Тогда, интегрируя ряд почленно, получим разложение в ряд функции Пример 4. Разложить по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим следующее тождество:

Разложим подынтегральную функцию по формуле (99) в степенной ряд

который сходится для всех значений t из интервала Так как в интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать, то для имеем

Таким образом, если то

Можно показать, что это равенство справедливо и для Пример 5. Разложить по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим тождество

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, воспользовавшись формулой (102):

Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам — Следовательно,

Это разложение справедливо для всех значений из интервала . Однако можно показать, что оно остается в силе и на концах интервала.

Итак, для всех принадлежащих сегменту , имеет место равенство