§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Понятие максимума и минимума для функции нескольких переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.

Мы рассмотрим эти понятия только в применении к функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных задана в некоторой области

Введем следующие определения.

Определение. Функция двух переменных имеет в точке области G максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от выполняется неравенство

Определение. Функция двух переменных имеет в точке области G минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от выполняется неравенство

Точка в которой функция имеет максимум (или минимум), называется точкой максимума (или минимума).

Как и в случае функции одной переменной, точку максимума (или минимума) не следует смешивать с точкой, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение в облаете

Существует общее название для максимума и минимума — экстремум.

Теорема (необходимый признак существования экстремума) Если есть точка экстремума функции , то

в предложении, что указанные частные производные существуют в точке

Доказательство. Частная производная функции по в точке есть производная функции одной переменной в точке . Но в этой точке функция имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, (см. гл. VI, § 7, п. 2). Так как , то Аналогично можно показать, что . Теорема доказана.

Таким образом, обращение в нуль в точке частных цроизводных первого порядка функции (если они существуют) является необходимым условием существования в точке экстремума этой функции.

Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция очевидно, имеет минимум в точке но не имеет в этой точке частных производных.

Точки, в которых первые частные производные функции обращаются в нуль или не существуют, называются критическилш точками этой функции.

Из изложенного выше следует, что точки экстремума функции находятся среди ее критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Рассмотрим, например, функцию

Первые частные производные этой функции

обращаются в нуль в точке , следовательно, эта точка является критической. Однако экстремума в ней функция не имеет.

В самом деле, но в любой окрестности точки имеются как положительные (в точках, принадлежащих I и III четвертям), так и отрицательные (в точках, принадлежащих II и IV четвертям) значения функции .

Рассмотренный пример показывает, что необходимый признак существования экстремума не является достаточным признаком.

Достаточным условием наличия экстремума в критической точке является условие

причем в случае есть точка максимума, а в случае - точка минимума. Условие

является достаточным для отсутствия экстремума в критической точке

В случае точка может быть, а может и не быть точкой экстремума (сомнительный случай). В этом случае необходимы дополнительные исследования.

Сформулированные здесь достаточные признаки существования или отсутствия экстремума мы оставляем без доказательства.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. Находим первые частные производные:

Приравнивая эти производные нулю, получим после элементарных преобразований:

Складывая и вычитая почленно уравнения (63), получим:

или

Решая эту систему уравнений (равносильную данной), находим четыре критические точки:

Теперь найдем вторые частные производные

и составим выражение

Убеждаемся, что

Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке — минимум в точке — максимум