3. Ряды по степеням разности х-а

Рассмотрим теперь ряды по степеням разности

Ряды вида (68) являются частным случаем рядов (77) при Положив приведем ряд (77) к ряду вида (68)

Если ряд (78) имеет интервал сходимости , т. е. сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам , то, очевидно, ряд (77) сходится для всех тех значений для которых , т. е. для всех лежащих в интервале . Так как ряд (78) расходится для всех таких, что то, следовательно, ряд (77) расходится для всех значений удовлетворяющих условию

Таким образом, областью сходимости степенного ряда (77) является интервал с центром в точке а длины Во всех точках этого интервала ряд (77) сходится абсолютно, а вне этого интервала ряд (77) расходится. В точках (т. е. на концах интервала сходимости) в зависимости от конкретных видов ряда может иметь место сходимость или расходимость.

Свойства степенных рядов по степеням сохраняются и для рядов по степеням

Степенной ряд (77) абсолютно сходится на интервале и его сумма есть непрерывная функция на этом интервале. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости, причем полученные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд (77).

Практически интервал сходимости ряда (77) можно находить так же с помощью признака Даламбера.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Применяем признак Даламбера:

По признаку Даламбера ряд (79) сходится, если , и расходится, если Следовательно, и данный ряд (79) сходится, если и расходится, если Поэтому ряд (79) сходится в интервале с центром в точке Радиус сходимости . Исследуем сходимость ряда (79) в точках , т. е. на концах интервала сходимости. При получаем расходящийся гармонический ряд

При получаем неабсолютно сходящийся знакочередующийся ряд

Итак, ряд (79) сходится для всех удовлетворяющих условию