3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной

В некоторых случаях при исследовании функции на экстремум оказывается удобным следующий достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

Теорема. Пусть в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична нуля . В таком случае если , то в точке с функция имеет максимум, если же то в точке с функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть для определенности Покажем, что в точке с функция имеет максимум. На основании определения второй производной имеем:

Так как по условию , то

Но . Поэтому

Так как предел отрицателен, то для малых по абсолютной величине значений будет выполняться неравенство

Пусть тогда если же , то . Это показывает, что при переходе через точку с первая производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, на основании достаточного признака существования экстремума, рассмотренного в предыдущем пункте, функция имеет в точке с максимум. Аналогично доказывается, что если то в точке с функция имеет минимум.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти экстремум функции на сегменте

Решение. 1. Находим производную

2. Приравниваем производную нулю и находим корни производной:

3. Находим вторую производную и определяем ее знак в точках . В точке имеем: В точке имеем:

Следовательно, в точке функция имеет минимум:

а в точке — максимум:

В тех случаях, когда в критической точке вторая производная обращается в нуль или не существует, второй достаточный признак существования экстремума не применим.

В этих случаях приходится пользоваться достаточным признаком, основанным на перемене знака первой производной.

Пример 2. Найти экстремум функции

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

1. Находим производную

2. Приравниваем производную нулю и находим ее корни:

3. Находим вторую производную . В критической точке вторая производная тоже обращается в нуль. В этом случае рассмотренный достаточный признак не применим. Применяя первый достаточный признак, основанный на смене знака первой производной, убеждаемся, что при функция имеет минимум, так как проходя через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс (см. рис. 20).