§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Векторное поле

В гл. IX, § 7 было введено понятие скалярного поля и изучены его основные свойства. Однако во многих вопросах приходится иметь дело с векторными полями.

Определение. Векторным полем называется область пространства или плоскости, каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор .

Проекции Р, Q и R вектора на координатные оси являются функциями координат точки М:

Таким образом,

В частности, если поле задано на плоскости, то

В качестве примера векторного поля рассмотрим поле сил тяготения. Если в начале координат помещена масса , то эта масса создает поле сил тяготения, так как в каждой точке М пространства на помещенную в ней единичную массу действует сила, равная по величине, согласно закону Ньютона, и направленная к началу координат. Здесь — постоянная тяготения.

Следовательно,

где — единичный вектор (рис. 254).

Рис. 254

Пусть — координаты точки М. Тогда

Следовательно,

Здесь