2. Свойства определенного интеграла

Установим теперь, исходя из определения интеграла, его простейшие свойства. При этом подынтегральную функцию будем считать непрерывной.

I. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т. е. если - некоторое число, то

Действительно,

При этом мы воспользовались тем свойством, что постоянный множитель можно вынести за знак предела.

II. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов, от слагаемых.

Например, для двух слагаемых имеем:

Действительно, согласно определению интеграла имеем:

Совокупность свойств I и II называется свойством линейности. III. Если сегмент интегрирования разбит на две части и с, b], то

Рис. 176

Действительно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения сегмента на части и от выбора промежуточных точек Это позволяет при составлении каждой интегральной суммы включить точку с в число точек разбиения. Пусть . Тогда интегральная сумма будет состоять из двух частей, одна из которых относится к сегменту , а другая — к сегменту

Переходя к пределу, получим

или

Геометрически свойство III выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями (рис. 176).

Замечание. Свойство III было нами сформулировано в предположении, что . Однако равенство (18) имеет место для любых чисел а, b и с. В самом деле, пусть для определенности . Тогда, применяя свойство III к сегменту имеем

Но

(см. формулу (14)), поэтому

или

Свойство III часто называется свойством аддитивности

IV. Если на сегменте , то .

В самом деле, так как для любых I, то интегральная сумма . Поэтому и предел интегральной суммы при также неотрицателен.

Можно доказать, что если на сегменте непрерывная функция и хотя бы в одной точке этого сегмента то имеет место строгое неравенство

V. Если на сегменте две функции удовлетворяют неравенству , то

Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать.

В самом деле, разность поэтому согласно свой ству IV

Но, так как по свойствам I и II

то

откуда

Это свойство имеет простой геометрический смысл. Пусть для определенности обе функции неотрицательны на сегменте . Тогда криволинейная трапеция, ограниченная кривой содержит криволинейную трапецию, ограниченную кривой (рис. 177). Поэтому площадь первой фигуры не меньше площади второй фигуры. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла,

Рис. 177

В частности, так как всегда то из свойства V следует» что

Отсюда имеем

VI. Теорема о среднем значении. Если -непрерывная на сегменте функция, то существует такая точка этого сегмента, что

Обозначим через соответственно наименьшее наибольшее значения функции на сегменте . Тогда для любого

Применяя свойства V и I, из неравенства (22) получим

Но (см. п. 1, пример). Следовательно,

Разделив все члены двойного неравенства (23) на получим

Введя обозначение

получим

Таким образом, число является промежуточным числом между наименьшим значением функции и ее наибольшим значением М. Так как непрерывная на сегменте функция принимает все промежуточные значения между (см. гл. V, § 2, п. 3), то найдется такое значение на сегменте для которого

Подставляя в формулу (24) вместо равное ему значение получим

или

Итак, определенный интеграл от непрерывной функции равен значению подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке, умноженному на длину сегмента интегрирования.

Теорема о среднем допускает наглядное геометрическое толкование. Пусть на сегменте . Интеграл численно равен площади криволинейной трапеции (рис. 178).

Рассмотрим прямоугольник с тем же основанием что и у криволинейной трапеции, и с высотой, равной . Произведение численно равно площади прямоугольника. Следовательно, криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и с высотой, равной ординате кривой в некоторой промежуточной точке основания.

Рис. 178

Значение функции в точке определяемое из формулы (21), называется средним значением функции на сегменте.