2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства

Определение. Функциональный ряд (56)

называется правильно сходящимся на сегменте [а, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд

что абсолютные величины членов данного ряда (56) для любого значения принадлежащего сегменту [а, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда (61), т. е.

Приведем без доказательства некоторые теоремы о свойствах правильно сходящихся рядов.

Теорема 1. Всякий функциональный ряд, правильно сходящийся на сегменте сходится абсолютно в любой точке этого сегмента.

Известно, что сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Этим же свойством обладает сумма правильно сходящегося функционального ряда, члены которого являются непрерывными функциями, т. е. имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если члены правильно сходящегося на сегменте функционального ряда

непрерывны, то сумма также непрерывна на сегменте

Как мы знаем, сумму конечного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Если

то

Оказывается, что эти свойства не всегда выполняются, если число слагаемых бесконечно, т. е. для рядов. Однако эти свойства сохраняются для правильно сходящихся на сегменте функциональных рядов.

Теорема 3. Если члены правильно сходящегося на сегменте функционального ряда

непрерывны на этом сегменте, то ряд можно почленно интегрировать.

Это значит, что если любые две точки сегмента [а, b], то

Теорема 4. Пусть функциональный ряд

сходится на сегменте и его члены имеют непрерывные производные

Тогда, если ряд, полученный после почленного дифференцирования является правильно сходящимся на сегменте [а, b], то его сумма равна производной от суммы данного ряда:

Теорема 5. Если правильно сходящийся на сегменте [а, b] ряд

умножить на ограниченную функцию то полученный ряд

будет правильно сходящимся на сегменте [а, b].