§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Интегралы с бесконечными границами

Определение интеграла, приведенное в § 2, было дано в предположении, что областью интегрирования является конечный сегмент . Если же предположить, что область интегрирования бесконечна, например, является интервалом , то даже для непрерывной функции обычное определение интеграла становится неприемлемым. В данном случае нельзя говорить об интегральных суммах, так как при любом разбиении интервала на конечное число частей одна из этих частей будет бесконечной. Обобщим теперь понятие определенного интеграла на случай бесконечной области интегрирования.

Но прежде чем переходить к определениям, рассмотрим пример.

Функция непрерывна на бесконечном интервале

Поэтому на любом сегменте , где существует интеграл

который при имеет предел, равный единице. Этот предел называют несобственным интегралом от функции и обозначают символом Таким образом,

Обобщая этот пример, рассмотрим функцию непрерывную на бесконечном интервале . Для любого конечного сегмента интеграл существует.

Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании b, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции и обозначают символом

Таким образом,

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой

где с — любая фиксированная точка оси

Таким образом, интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов

Рис. 205

Из наших определений непосредственно видно, что несобственный интеграл является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.

Заметим, что если функция положительна и непрерывна на бесконечном интервале и если существует, то мы можем его трактовать как площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой бесконечным интервалом оси и прямой (рис. 205).

Пример 1, Исследовать, для каких значений сходится интеграл

Решение. рассмотрим интеграл

Если , то

Если же , то

Если то и поэтому .

Следовательно, в этом случае

Если то имеем и аналогично при

Таким образом, при сходится, а при дится:

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. По формуле (84), в которой полагаем получим

Но

Аналогично можно показать, что

Поэтому

т. е. интеграл сходится.

Пример 3. расходится, так как не имеет предела при хотя и остается заключенным между 0 и 2.

Можно показать, что большинство основных свойств определенных интегралов сохраняется для сходящихся интегралов с бесконечными пределами. В частности, например, справедлива формула замены переменной. Часто удачной заменой переменной несобственный интеграл с бесконечными пределами сводится к определенному интегралу.

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Положим тогда

При этом, если меняется от 0 до то меняется от 0 до Поэтому