2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам

В рассмотренных примерах мы, исходя из уравнения, находили линию, определяемую этим уравнением. Возможна и обратная задача. Пусть линия L на плоскости задана некоторым характерным геометрическим свойством, которым обладает всякая точка этой линии и не обладают точки плоскости, лежащие вне линии L; требуется найти в заданной системе координат уравнение» определяющее эту линию, т. е. такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек плоскости, лежащих вне L. Это уравнение, как мы знаем, называется уравнением данной линии L. Координаты произвольной точки линии L называются текущими координатами этой линии.

Они зависят от выбранной системы координат и могут быть не только декартовыми, а, например, и полярными. Вид уравнения линии тоже зависит от выбора системы координат.

Рассмотрим примеры нахождения (вывода) уравнений некоторых линий в декартовых или полярных координатах.

Пример 1. Найти уравнение (в декартовой системе координат) окружности с центром в точке и радиусом

Решение. Окружность определяется как геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной точки этой плоскости — центра окружности. Из определения окружности следует, что любая точка окружности с текущими координатами х и у находится на расстоянии R от центра окружности

По формуле (2) получим

откуда

Уравнение (16) является искомым уравнением окружности. Ему, очевидно, удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты всякой точки плоскости не лежащей на этой окружности.

В частном случае, если центр окружности находится в начале координат, то и уравнение (16) примет вид

В дальнейшем под радиусом окружности мы будем понимать как отрезок, соединяющий центр окружности с некоторой ее точкой, так и его длину.

Пример 2. В полярной системе координат найти уравнение окружности с центром в точке а) и радиусом равным а (рис. 32).

Решение. По условию центр окружности имеет полярный угол и полярный радиус , равный радиусу а искомой окружности. Следовательно, эта окружность проходит через полюс О, и один из ее диаметров лежит на полярной оси. Обозначим буквой А вторую точку пересечения этого диаметра с полярной осью. Для точки Пусть — любая точка данной окружности. Из прямоугольного треугольника ОАМ имеем:

или

Уравнению (17) удовлетворяют полярные координаты любой точки данной окружности. Легко видеть, что если точка не лежит на этой окружности, то ее координаты уравнению (17) не удовлетворяют. А это значит, что уравнение (17) — искомое.

Рис. 32