2. Задача о работе. Криволинейный интеграл

Многие задачи физики приводят к очень важному обобщению понятия определенного интеграла — к криволинейному интегралу.

Рассмотрим, например, следующую задачу. Вдоль некоторой кривой L, находящейся в поле сил , движется некоторая масса (материальная точка). Требуется определить работу сил поля при перемещении этой массы из точки А в точку В.

Из физики известно, что если материальная точка под действием постоянной силы F совершила прямолинейное перемещение, выражаемое вектором 1, то работа Е силы F равна скалярному произведению силы F на 1 (см. гл. III,

Так как в общем случае сила F меняется как по величине, так и по направлению, и так как перемещение по кривой L не является прямолинейным, то непосредственно применять формулу (40) нельзя. Поэтому мы поступим следующим образом. Разобьем кривую L в направлении от точки А к точке В на «малых» дуг точками деления Начальную, точку А кривой L обозначим через конечную точку В через (рис. 255).

Рис. 255

Пусть -координаты точки . Впишем в кривую L ломаную, соединив соседние точки деления прямолинейными отрезками. На каждой дуге , выберем произвольную точку с координатами

Заменим кривую L ломаной а силу F, которая, вообще говоря, меняется и по величине и по направлению от точки к точке, будем считать постоянной вдоль каждого звена ломаной и равной заданной силе в точке М, дуги

или подробнее,

Тогда работа силы вдоль дуги будет приближенно равна работе силы вдоль звена которая согласно формуле (40), равна скалярному произведению силы на вектор перемещения

Проекции вектора оси координат равны соответственно: Выражая скалярное произведение в координатной форме, получим

Суммируя эти выражения по всем звеньям ломаной, найдем приближенное значение работы Е вдоль кривой

За точное значение работы Е примем предел полученной суммы, устремляя длины дуг , к нулю:

Таким образом, вычисление работы привело нас к нахождению предела суммы определенного вида. Нахождение пределов сумм рассмотренного вида встречается и в других вопросах, не связанных с вычислением работы. Изучим свойства пределов таких сумм в общем виде, независимо от той или иной физической задачи.

Пусть в некоторой области трехмерного пространства задана непрерывная кривая L (дуга АВ) и вектор-функция определенная в каждой точке кривой .

Проделаем следующие действия.

1. Разобьем дугу АВ точками в направлении от точки А к точке В на дуг Начало дуги А мы обозначили через а конец В — через Пусть - координаты точки .

2. На каждой дуге выбираем произвольную точку с координатами Составим скалярное произведение вектора вычисленного в точке на вектор

3. Составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой.

4. Если существует предел интегральной суммы при условии, что длины всех дуг стремятся к нулю, не зависящий ни от способа разбиения дуги АВ на дуги ни от выбора на каждой из них точки то этот предел называют криволинейным интегралом от вектор-функции вдоль кривой L (или вдоль дуги А В) в направлении от А к В и обозначают

или

Так как подынтегральное выражение есть скалярное произведение вектора и дифференциала радиуса-вектора переменной точки кривой L, то криволинейный интеграл от вектор-функции можно записать в следующей векторной форме:

Итак, по определению

Здесь подразумевается, что при каждая из дуг стягивается в точку.

Так как

то предполагая, что существуют пределы сумм, стоящих в правой части последнего равенства, имеем

Пределы, стоящие справа, можно рассматривать как криволинейные интегралы вдоль дуги АВ соответственно от векторов-функций . Поэтому равенство (41) можно переписать в виде

Определение криволинейного интеграла показывает, что работа силы F вдоль дуги L есть криволинейный интеграл от силы F вдоль этой дуги, т. е.

где Р, Q и R — проекции силы на координатные оси.

Так же, как и в случае определенного интеграла, имеет место теорема существования криволинейыого интеграла, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема существования криволинейного интеграла. Пусть кривая L задана в параметрическом виде уравнениями где - функции, имеющие непрерывные производные первого порядка для а Тогда для всякой вектор-функции , непрерывной вдоль этой кривой, существует предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа дугу на которые разбивается кривая L при стремлении к нулю длины каждой из них. Этот предел не зависит от способа разбиения дуги L на части и от выбора промежуточных 1 точек .