7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена

Вид уравнения кривой зависит от выбора системы координат. В различных системах координат для одной и той же кривой мы можем получить уравнения различной сложности. Поэтому часто ставится следующая задача. Дано уравнение кривой второго порядка в некоторой декартовой системе координат не являющееся простейшим. Требуется с помощью преобразования координат (см. гл. I, § 6) получить простейшее уравнение данной кривой и по виду этого уравнения определить тип кривой, т. е. выяснить, является ли кривая эллипсом, гиперболой и т. д.

Пусть, например, дано уравнение

в правой части которого стоит квадратный трехчлен. Для того чтобы получить простейшее уравнение данной кривой, воспользуемся формулами параллельного переноса осей (см. гл. I, § 6, п. 1):

в которых — координаты нового начала . Подставив в уравнение (46) вместо старых координат и у их выражения через новые координаты X и Y, получим

или, после упрощений,

Выберем координаты нового начала так, чтобы в правой части уравнения (48) коэффициент при X в первой степени и свободный член обратились в нуль, т. е. чтобы были выполнены условия

Решая эту систему уравнений относительно неизвестных , получим:

При таком выборе координат начала новой системы уравнение (48) примет вид

т. е. будет простейшим уравнением параболы, для которой ось является осью симметрии.

Таким образом, график квадратного трехчлена

есть парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат, и с вершиной в точке

Аналогично можно показать, что кривая есть парабола с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, и с вершиной в точке

Пример. Привести уравнение параболы к простейшему виду и найти координаты вершины.

Решение. Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями через X и Y по формулам (47), получим

или

Полагая

получим координаты нового начала — вершины параболы: . При этом уравнение параболы будет иметь вид