2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой

Действительные числа можно изображать точками числовой оси.

Рис. 1

Числовой осью называется прямая, на которой выбраны начальная точка (начало), положительное направление (отмеченное на чертеже стрелкой) и отрезок, длина которого считается равной единице (единица масштаба) (рис. 1). Направление, противоположное положительному направлению числовой оси, называется отрицательным. Если действительное число то оно изображается точкой числовой оси, находящейся от начала на расстоянии в положительном направлении; если то точка оси, изображающая лежит в отрицательном направлении от начала на расстоянии, равном х (при х отрицательном -х > 0); число нуль изображается начальной точкой оси.

Действительное число х называется координатой той точки М числовой оси, которая его изображает. Условимся писать в том случае, когда является координатой точки М.

На рис. 2, а отмечены точки числовой оси, изображающие соответственно действительные числа Очевидно, каждому действительному числу соответствует единственная точка М числовой оси, и, обратно, каждой точке М этой оси соответствует единственное действительное число — координата этой точки. Как говорят, между множеством всех действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому в дальнейшем часто вместо слов «дано число будут употребляться слова «дана точка Кроме того, точка на числовой прямой часто будет обозначаться ее координатой.

Рис. 2

Множество действительных чисел является упорядоченным. Это значит, что два любых не равных между собой действительных числа удовлетворяют одному и только одному из двух неравенств: или .

На горизонтально расположенной оси с положительным направлением слева направо точки, соответствующие большим действительным числам, лежат правее точек, соответствующих меньшим числам.

Отметим также, что множество действительных чисел является плотным, т. е. обладает следующим свойством: между любыми двумя не равными друг другу действительными числами находится бесконечно много других действительных чисел. Это значит, что если (для определенности) то существует бесконечное множество чисел больших но меньших .