4. Правило Лопиталя

В гл. V мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т. е. раскрытия неопределенности вида Здесь будет рассмотрено новое правило для раскрытия этих неопределенностей, называемое правилом Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть - функции, дифференцируемые в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и пусть при эти функции обе стремятся к нилю или обе стремятся к бесконечности. В таком случае, если отношение их производных имеет предел при то этот же предел будет иметь и отношение самих функций

Эту теорему приводим без доказательства.

Пример 1. Найти .

Решение. Имеем

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида или , то можно снова применить доказанную теорему, т. е. перейти к отношению вторых производных и т. д. Пример 2. Найти

Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю. Применяя два раза правило Лопиталя, находим

Пример 3. Найти

Решение. Здесь числитель и знаменатель представляют собой бесконечно большие функции при Применяя два раза правило Лопиталя, находим

Аналогично можно показать, что вообще

т. е. многочлен любой степени растет медленнее показательной функции.

Кроме рассмотренных случаев неопределенностей вида и встречаются еще неопределенности следующих видов.

Неопределенность вида . Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела когда являются бесконечно большими функциями одного знака, т. е.

Этот случай преобразованием выражения сводится к неопределенности вида или

Пример 4. Найти .

Решение. Так как при то имеем неопределенность вида Выполним следующие преобразования:

При - числитель и знаменатель в последнем выражении одновременно стремятся к нулю.

Таким образом, получаем неопределенность вида Применяя правило Лопиталя, найдем

Итак,

Неопределенность вида . Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела если . Этот случай также преобразованием выражения сводится к раскрытию неопределенностей вида

Пример 5. Найти .

Решение. Так как при , то имеем неопределенность вида . Преобразуем данное выражение так:

Так как здесь мы получили уже неопределенность вида то можем применить правило Лопиталя:

Итак, окончательно:

Неопределенность вида . Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела если

Неопределенность вида . Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела если

Неопределенность вида . Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела если

Неопределенности вида приводятся к случаям неопределенностей вида или обычно с помощью логарифмирования выражения

Пример 6, Найти

Решение. В этом случае и мы имеем неопределенность вида Обозначим Логарифмируя, находим

Так как при числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, то получаем неопределенность вида Применяем правило Лопиталя:

Так как у функция непрерывная, то следовательно, Итак,

Замечание. Согласно правилу Лопиталя, если существует предел отношения производных данных функций, то существует предел отношения самих функций. Если же предел отношения производных не существует, то это еще не означает, что не существует предел отношения самих функций. Рассмотрим, например, две бесконечно большие функции при Предел их отношения при существует, так как

Однако, предел отношения производных данных функций

не существует, так как при не имеет предела.