2. Интегралы от разрывных функций

Пусть функция непрерывна при а в течке имеет разрыв. В этом случае определение интеграла от функции на сегменте как предела интегральных сумм, вообще говоря, не применимо, так как этот предел может и не существовать. В самом деле, пусть, например, (рис. 206). В этом случае при любом разбиении сегмента на части функция будет неограниченной на последнем сегменте (так как по предположению

Рис. 206

Поэтому, если взять точку достаточно близко к точке b, можно сделать произведение а следовательно и интегральную сумму сколь угодно большими. Это значит, что интегральные суммы иеегравичеиы, и, следовательно они не имеют предела при стремлении шага разбиения К к нулю.

Однако и в этом случае, несмотря на то, что прежнее определение интеграла неприемлемо, можно обобщить понятие интеграла. Прежде чем переходить к определениям, разберем конкретный пример. Рассмотрим функцию . Эта функция стремится к бесконечности при слева. Поэтому составлять для нее интегральную сумму на сегменте [0, 1] нельзя. Однако на сегменте , где функция непрерывна, и поэтому существует интеграл

который имеет предел при

Этот предел и называют несобственным интегралом от разрывной на сегменте [0, 1] функции и обозначают символом

Таким образом

Обобщая этот пример, рассмотрим функцию разрывную в точке b сегмента и непрерывную на сегменте с], где с — любая точка интервала (см. рис. 206).

Если при слева определенный интеграл стремится к конечному пределу, то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции и обозначается символом

Таким образом,

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично, если разрывна при приближении справа к точке а, то

Наконец, если функция разрывна в некоторой внутренней точке d сегмента [а, b], то мы разбиваем этот сегмент на два сегмента: [a, d] и [d, b]. Если несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом из этих сегментов, то сумма этих интегралов, по определению, называется несобственным интегралом от функции на сегменте [а, b], т. е.

Таким образом, из определений непосредственно видно, что несобственный интеграл от разрывной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать, для каких значений сходится иитеграл

Решение. Подынтегральная функция разрывна в точке .

Рассмотрим интеграл , где

Если , то

Если

Если то и, следовательно,

Если

Если то и поэтому

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при 1.

Пример 2 Исследовать на сходимость интеграл График подынтегральной функции изображен на рис. 207.

Рис. 207

Решение. Подынтегральная функция разрывна в точке Рассмотрим интегралы Они оба существуют, причем . Поэтому по определению существует интеграл

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Подынтегральная функция разрывна в точке Поэтому, как и в примере 2, рассмотрим отдельно интегралы Легко убедиться в том, что оба эти интеграла не сушествуют. Следовательно, по определению не существует интеграл Заметим, что если бы мы действовали формально, применяя формулу Ньютона—Лейбница к интегралу то получили бы заведомо неверный результат Этот результат неверен, так как интеграл от положительной функции на сегменте не может быть отрицательным.

Наша ошибка произошла потому, что мы незаконно применили формулу Ньютона—Лейбница, которая была выведена в предположении непрерывности подынтегральной функции на сегменте интегрирования. В нашем же случае функция имеет в точке бесконечный разрыв.