5. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. (Предполагается, что фокус не лежит на директрисе.)

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Эта величина называется параметром параболы.

Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу (рис. 50). За начало координат выберем середину перпендикуляра , опущенного из фокуса на директрису. В выбранной таким образом системе координат фокус будет иметь координаты Уравнение директрисы будет иметь следующий вид:

Пусть - точка параболы. По определению параболы, расстояние точки от директрисы равно ее расстоянию от фокуса: .

Из рис. 50 ясно, что . Следовательно,

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

или, после упрощений

Уравнение (44) называется каноническим уравнением параболы. Ему, очевидно, удовлетворяют координаты любой точки параболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на параболе, уравнению (44) не удовлетворяют.

Рис. 50

Рис. 51

Исследуем форму параболы по ее каноническому уравнению. Так как в это уравнение у входит лишь в четной степени (в квадрате), то ось абсцисс является осью симметрии параболы. Вся кривая расположена справа от оси ординат, так как левая часть уравнения (44) неотрицательна, и, следовательно, стоящий в правой части этого уравнения, не может быть отрицательным. При имеем . Следовательно, парабола проходит через начало координат. При неограниченном возрастании абсолютная величина у также неограниченно возрастает. Парабола, определяемая уравнением (44), имеет вид, изображенный на рис. 51.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. В данном случае вершина параболы совпадает с началом координат.

Пример. Дана парабола . Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы (44), видим, что . Так как директриса параболы имеет уравнение , а фокус — координаты и , то уравнение директрисы а фокус .

Замечание. Если фокальную ось параболы принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид