10. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции являются бесконечно малыми при х.Рассмотрим предел отношения этих функций при и введем следующие определения.

Определение 1. Функции называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости при если существует и не равен нулю.

Определение 2. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция при

Определение 3. Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем при если

Определение 4. Функции называются несравнимыми бесконечно малыми при если не существует и не равен

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Функция является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция так как При приближении к нулю функция стремится к нулю быстрее, чем функция

Пример 2. Функции являются бесконечно малыми одного порядка малости при так как

Пример 3. Функции являются несравнимыми бесконечно малыми при так как при не существует предела их отношения

Введем теперь понятие эквивалентных бесконечно малых функций. Определение. Две функции бесконечно малые называются эквивалентными (или равносильными), если предел их отношения при равен единице.

Из определения следует, что эквивалентные бесконечно малые функции имеют одинаковый порядок малости.

Например, функции являются попарно эквивалентными бесконечно малыми функциями при так как

Пусть и — эквивалентные бесконечно малые функции при . Тогда для значений близких к имеет место приближенное равенство , или точность которого возрастает с приближением

Так как — эквивалентные бесконечно малые при то для близких к нулю, Этим обстоятельством широко пользуются, заменяя при малых аргументом

Так, например, при радиана

Если - эквивалентные бесконечно малые функции, то это обозначают так:

Докажем следующую теорему об эквивалентных бесконечно малых функциях.

Теорема 1. Пусть при

Если существует то существует и и оба эти предела равны между собой.

Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

Доказательство. Имеем

Доказанная теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание предела.

Пример 4. Найти

Решение. Так как при , то

В заключение этого параграфа приведем признак эквивалентности двух бесконечно малых функций.

Теорема 2. Бесконечно малые функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем

Доказательство. Пусть бесконечно малые функции, например, при обозначим их разность через

1. Покажем, что, если , то — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем т. е. что

В самом деле,

Аналогично доказывается, что

2. Пусть обратно, - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем . Докажем, что

Действительно, так как , то . Следовательно,

так как по условию равен нулю.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Рассмотрим для определенности сумму трех бесконечно малых функций при . Пусть, например, -бесконечно малая функция низшего порядка малости, чем остальные слагаемые. Это значит, что

Тогда

Следовательно, сумма - бесконечно малая функция, эквивалентная функции .

Пример 5. Найти

Решение. Так как при по теореме то, применяя теорему 1, имеем