Так как
— эквивалентные бесконечно малые при
то для
близких к нулю,
Этим обстоятельством широко пользуются, заменяя при малых
аргументом 
Так, например, при
радиана 
Если
- эквивалентные бесконечно малые функции, то это обозначают так: 
Докажем следующую теорему об эквивалентных бесконечно малых функциях.
Теорема 1. Пусть
при 
Если существует
то существует и
и оба эти предела равны между собой.
Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.
Доказательство. Имеем

Доказанная теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание предела.
Пример 4. Найти 
Решение. Так как
при
, то

В заключение этого параграфа приведем признак эквивалентности двух бесконечно малых функций.
Теорема 2. Бесконечно малые функции
эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем 
Доказательство. Пусть
бесконечно малые функции, например, при
обозначим их разность через 
1. Покажем, что, если
, то
— бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем
т. е. что
В самом деле,

Аналогично доказывается, что

2. Пусть обратно,
- бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем
. Докажем, что 
Действительно, так как
, то
. Следовательно,

так как
по условию равен нулю.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство. Рассмотрим для определенности сумму трех бесконечно малых функций при
. Пусть, например,
-бесконечно малая функция низшего порядка малости, чем остальные слагаемые. Это значит, что

Тогда
Следовательно, сумма
- бесконечно малая функция, эквивалентная функции
.
Пример 5. Найти

Решение. Так как при
по теореме
то, применяя теорему 1, имеем
