2. Механический смысл второй производной

В п. 4 § 1 был выяснен механический смысл первой производной. Выясним механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону где - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения есть некоторая функция времени: . В момент времени t скорость имеет значение Рассмотрим другой момент времени . Ему соответствует значение скорости Приращению времени соответствует приращение скорости

Отношение называется средним ускорением за промежуток времени .

Ускорением w в момент t называется предел среднего ускорения при

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тонки есть производная скорости по времени.

Как мы видели, скорость есть производная пути s по времени . Учитывая это, имеем:

Итак, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пример. Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону , где время t выражается в сек, а путь . Найти ускорение w движущейся точки в момент времени .

Решение. По формуле (56) имеем: Следовательно, искомое ускорение