§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

1. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия.

При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции; если независимая переменная приближается к точке то значение функции неограниченно приближается к значению функции в точке (рис. 114).

Дадим теперь строгое определение непрерывности функции. Определение. Функция называется непрерывной в точке 0, если:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) функция имеет предел при

3) предел функции при равен значению функции в точке

Рис. 114

Если в точке функция непрерывна, то точка называется точкой непрерывности данной функции.

Замечание 1. Формулу (22) можно записать в виде

так как . Формула (23) означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Замечание 2. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа или слева (т. е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция определена в точке . Если то говорят, что функция непрерывна в точке справа; если то функция называется непрерывной в точке слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при функция разрывна. Это может произойти, если в точке функция не определена, или не существует предел функции при или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке

Пример 1. Рассмотрим функцию . Докажем, что она непрерывна в точке . Для этого надо показать, что в точке выполнены все три условия, входящие в определение непрерывной функции, т. е. что: 1) функция определена в точке и в некоторой ее окрестности; 2) существует и этот предел равен значению функции в точке . Так как функция определена на всей числовой , то первое условие автоматически выполняется. Далее, . Итак, второе условие выполнено. Замечая, наконец, что мы видим, что т. е. и третье условие, определяющее непрерывность функции в точке выполнено.

Рис. 115

Таким образом, функция непрерывна в точке Аналогично можно показать, что эта функция непрерывна в любой точке числовой оси.

Пример 2» Рассмотрим функцию

приведенную в примере 2, § 1, п. 3. Эта функция определена во всех точках сегмента [0, 4] и ее значение при равно 0 (см. график функции на рис. 109). Однако в точке функция имеет разрыв, так как она не имеет предела при Следует заметить, что функция непрерывна во всех точках сегмента [0, 4], за исключением точки При этом в точке она непрерывна справа, а в точке — непрерывна слева (см. замечание 2 на стр. 192), так как

Пример 3. Функции (рис. 115) разрывны в граничной точке области определения так как они не определены в этой точке.

Функции являются бесконечно большими функциями при . Поэтому часто говорят, что в точке функции и имеют бесконечный разрыв.

Пример 4. Функция имеет в граничной точке области определения бесконечный разрыв, так как в этой точке функция не определена и так как (см. рис. 24).

Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Определение. Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних предела Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Рис. 11.6

Функция приведенная в примере 2, имеет в точке разрыв первого рода, так как для нее существуют пределы при справа и слева.

Функции рассмотренные в примере 3, в точке имеют разрыв второго рода, так как эти функции при не имеют предела ни слева, ни справа.

Пример 5. Функция определена для всех значений кроме . В этой точке она имеет разрыв. Точка есть точка разрыва второго рода, так как при как справа, так и слева, функция , колеблясь между не приближается ни к какому числовому значению. График ее приведен на рис. 116.

Пример 6. Функция не определена в точке

Точка является точкой разрыва первого рода, так как при существуют пределы справа и слева:

Если доопределить функцию в точке полагая то получим уже непрерывную функцию, определенную так:

Доопределив функцию в точке мы устранили разрыв. Точка разрыва первого рода, в которой называется точкой устранимого разрыва.

В заключение этого пункта отметим одно свойство функции, непрерывной в точке. Если непрерывная в точке функция имеет в точке положительное (отрицательное) значение, то она остается положительной (отрицательной) во всех точках некоторой окрестности точки

В самом деле, пусть . Возьмем такое , что . Так как (в силу непрерывности функции в точке то на основании определения предела функции при (см. стр. 167) найдутся такие числа М и что для всех точек интервала выполняется неравенство или . Но так как то и Для всех точек интервала . Итак, функция положительна в некоторой окрестности точки