3. Деление отрезка в данном отношении

Разделить отрезок в данном отношении это значит найти на заданном отрезке такую точку М, для которой имеет место равенство

Пусть точки имеют соответственно координаты Найдем координаты х, у точки М. Обозначим через проекции точек на ось (рис. 8). Из элементарной геометрии известно, что отрезки, заключенные между параллельными прямыми, пропорциональны. Следовательно,

Но поэтому . В этом отношении модули можно заменить разностями , если учесть, что эти разности имеют одинаковые знаки (см. рис. 8, а, на котором обе разности положительны, и рис. 8, б, на котором они отрицательны). Таким образом,

Отсюда

Рис. 8

Аналогично можно получить соответствующее выражение и для у.

Окончательно, для координат х и у искомой точки М получим следующие формулы:

В частности, для координат середины отрезка получим формулы:

Таким образом, каждая из координат середины отрезка равна среднему арифметическому соответствующих координат его концов.

Пример. Разделить отрезок в отношении если

Решение. Так как , то по формулам (4) получим:

Таким образом, искомой оказалась точка

Замечание. При решении задачи о делении отрезка в данном отношении мы предполагали, что этот отрезок - направленный, т. е. имеющий начало М, и конец . Если сохранить численное значение , а точки поменять местами, то точка М, делящая отрезок в отношении , не будет, вообще говоря, совпадать с прежней точкой М, делившей в отношении отрезок .

Например, точкой, делящей в отношении отрезок имеющий начало и конец будет уже не точка , а точка , координаты которой находятся следующим образом: