7. Особые решения

По теореме Коши, если правая часть уравнения

непрерывна в некоторой области G и имеет в ней непрерывную производную , то через каждую внутреннюю точку области G проходит единственная интегральная кривая. Однако условия теоремы Коши могут оказаться не выполненными в точках, лежащих на границе области G. Такие точки, где не выполняются условия теоремы Коши, мы назвали особыми (см. стр. 567).

Если — особая точка, то может оказаться, что через нее либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит несколько интегральных кривых. Так, мы видели (см. п. 2, пример 2), что для дифференциального уравнения у вся ось Оу состоит из особых точек. При этом через начало координат проходит бесконечное множество интегральных кривых, а через особые точки, отличные от начала координат, не проходит ни одной интегральной кривой.

Если линия состоит только из особых точек и является интегральной кривой дифференциального уравнения, то функция у называется особым решением.

Условия теоремы Коши являются достаточными условиями для того, чтобы в некоторой области G не существовало особого решения. Поэтому для существования особого решения необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши. Следовательно, для того чтобы найти особое решение дифференциального уравнения , надо найти линию , в каждой точке которой терпят разрыв или , и проверить, является ли функция решением уравнения. Если функция окажется решением дифференциального уравнения, то она и будет особым решением.

Пример 1. Рассмотрим уравнение Правая часть этого уравнения непрерывна при всех значениях у, однако производная терпит разрыв при , т. е. во всех точках оси Таким образом, каждая точка прямой является особой. Очевидно, что функция является решением данного уравнения. Следовательно, решение будет особым.

Рис. 273

Найдем теперь общее решение данного уравнения.

Разделяя переменные, находим 0 = х. Интегрируя, получаем общее решение:

Семейство интегральных кривых, соответствующих найденному общему решению, состоит из кубических парабол. Так как через каждую точку особого решения (оси Ох) проходит еще одна интегральная кривая данного уравнения (кубическая парабола), то в каждой точке оси Ох нарушается свойство единственности (рис. 273).

Заметим, что особое решение, вообще говоря, не содержится о общем решении и не может быть выделено из него ни при каком конкретном значении постоянной С.

Пример 2, Рассмотрим уравнение . Как и в предыдущем примере, геометрическим местом особых точек является прямая у = 0 (ось Ох). Однако функция у = 0, как легко проверить, не является решением данного уравнения. Поэтому данное уравнение особых решений не имеет.