3. Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону

где t — время, a - путь, проходимый точкой за время t. Отметим некоторый момент времени . К этому моменту точка прошла путь Поставим задачу определить скорость материальной точки в момент

Рассмотрим для этого какой-нибудь другой момент времени Ему соответствует пройденный путь Тогда за промежуток времени точка прошла путь

(рис. 131).

Средняя скорость движения за промежуток времени определяется отношением

пройденного пути ко времени. Будем считать начальный момент Бремени фиксированным, а промежуток времени — переменным. Тогда средняя скорость будет переменной величиной, зависящей от

Рис. 131

Скоростью в данный момент называется предел средней скорости при т. е.

или

Таким образом, для того чтобы найти скорость в данный момент необходимо вычислить

Задача о плотности стержня. Рассмотрим еще одну задачу, при решении которой придется находить такого же рода предел. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной . Определим плотность стержня в любой его точке. Предположим, что стержень расположен на оси причем один из его концов совпадает с началом координат. Тогда каждой точке стержня соответствует определенная координата

Обозначим через массу отрезка стержня между точками с координатами Ясно, что является функцией . Рассмотрим две точки стержня: фиксированную точку и переменную точку Отрезок стержня, расположенный между этими точками, имеет длину и массу

Отношение называется средней плотностью стержня на отрезке от точки до точки

Плотностью 8 стержня в точке называется предел средней плотности, когда длина отрезка стремится к нулю:

Рассмотренные задачи, несмотря на их различное физическое содержание, привели нас к нахождению предела одного и того же вида — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента. К нахождению предела подобного вида приводят многочисленные задачи из различных областей естествознания. Поэтому целесообразно изучить подробнее указанный предел и показать способы его нахождения.