2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби

Как мы знаем (см. гл. 1, § 4, п. 7), дробной рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

где - многочлен степени — многочлен степени . Например:

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; в противном случае рациональная дробь называется неправильной. Приведенная выше рациональная дробь неправильна.

Задача настоящего параграфа заключается в изложении методов интегрирования рациональных дробей.

Отметим прежде всего, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

В самом деле, пусть — неправильная рациональная дробь, т. е. степень больше или равна степени Разделив числитель на знаменатель, получим тождество

где - многочлены, причем степень остатка меньше степени знаменателя дроби

Отсюда

где — правильная рациональная дробь.

Например, пусть . Разделив на получим частное и остаток .

Следовательно,

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби

Так как многочлен мы интегрировать умеем, то остается рассмотреть интегрирование правильных рациональных дробей.

Как мы увидим ниже (см. п. 4), всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа так называемых простейших дробей следующих четырех типов:

где - действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. . Поэтому если мы научимся интегрировать простейшие дроби и разлагать правильную рациональную дробь на сумму простейших, то задача Интегрирования рациональных дробей будет решена.