3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами

Иногда приходится одновременно пользоваться декартовыми и полярными координатами на плоскости. При этом естественно поставить следующие две взаимно обратные задачи.

1. Зная полярные координаты точки М, найти ее декартовы координаты х и у.

2. Зная декартовы координаты х и у точки найти ее полярные координаты .

Решение этих задач зависит от взаимного расположения полярной оси и осей декартовой системы. Мы рассмотрим лишь частный случай, когда полярная ось совпадает с осью абсцисс декартовой системы следовательно, полюс совпадает с началом координат декартовой системы). При этом предполагается, что все три оси — полярная ось и оси — имеют общую единицу масштаба.

Рис. 15

Исходя из определения тригонометрических функций соэф и получим (рис. 15):

откуда

Формулы (7) выражают декартовы координаты точки через ее полярные координаты. Чтобы выразить полярные координаты через декартовы, возведем обе части каждого из равенств (7) в квадрат, а затем сложим полученные равенства почленно:

или

Отсюда

Поделив почленно второе равенство (7) на первое, получим

Равенство (8) выражает полярный радиус через декартовы координаты. Равенство (9) позволяет, зная декартовы координаты, найти тангенс полярного угла. Однако найденному значению соответствуют два значения (при условии ). Из этих двух значений полярного угла выбирается то, при котором удовлетворяются равенства (7).

Пример. Зная декартовы координаты точки М, найти ее полярные координаты.

Решение. По формуле (8) находим

По формуле (9) получим

Этому значению тангенса соответствуют два значения Равенства (7) в данном случае запишутся так:

Они удовлетворяются только для первого значения Следовательно, . Таким образом, точка М имеет полярные координаты .