7. Криволинейный интеграл по длине дуги

В предыдущих пунктах мы рассматривали криволинейный интеграл от вектор-функции (криволинейный интеграл по координатам). Однако некоторые задачи приводят к криволинейному интегралу другого рода. Рассмотрим в плоскости кривую АВ длины . Пусть вдоль этой кривой распределена масса с линейной плотностью . Определим массу кривой. Для этого разобьем кривую АВ точками деления на частей, обозначая для единообразия точки А и В соответственно через Обозначим через массу дуги длины Ясно, что, Подсчитаем приближенно массу дуги . Пусть произвольная точка дуги . Считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как в точке получим приближенное значение массы: Суммируя, найдем приближенное значение массы

За точное значение массы кривой АВ примем предел суммы (57) при условии, что все . Итак,

К подобного рода суммам и их пределам приводят и другие задачи. Отвлекаясь от конкретного содержания приведенной задачи, рассмотрим непрерывную функиию , определенную в точках дуги АВ. Составленная для нее сумма вида (57) называется интегральной суммой. Предел интегральной суммы (57) при условии, что все называете я криволинейным интегралом от функции по длине дуги АВ и обозначается символом или

Итак

Таким образом, масса дуги равна криволинейному интегралу от плотности по длине этой дуги:

Следует обратить внимание на то, что, в отличие от криволинейного интеграла по координатам, криволинейный интеграл по длине дуги не зависит от выбора направления на кривой.

Можно показать, что вычисление криволинейного интеграла по длине дуги сводится к вычислению определенного интеграла.

Если дуга АВ задана уравнением то

Подынтегральное выражение в правой части равенства (60) получается из подынтегрального выражения в левой части заменой и дифференциала дуги на его выражение в декартовых координатах

Пример. Найти массу дуги кривой между точками с абсциссами , если плотность .

Решение. Применяя формулы (59) и (60), получим

Замечание. Часто криволинейный интеграл по длине дуги называют криволинейным интегралом первого рода, а криволинейный интеграл от вектор-функции — криволинейным интегралом второго рода.