3. Функции трех и большего числа переменных

Мы подробно рассмотрели понятия функции двух переменных и ее области определения. В практике встречаются, однако, функции, зависящие от трех или большего числа переменных. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда зависит от трех величин — длины а и ширины b его основания и высоты h параллелепипеда:

Дадим определение функции трех переменных.

Определение. Переменная и называется функцией трех переменных х, у и z, если:

1) задано множество Q троек численных значений х, у и z;

2) задан закон, по которому каждой тройке чисел из этого множества соответствует единственное значение .

Переменные называются при этом аргументами функции и или независимыми переменными.

Множество которое образуют все тройки численных значений аргументов , называется областью определения или областью задания функции трех переменных.

Обозначаются функции трех переменных так же, как и функции одной или двух переменных:

Функцию трех переменных можно рассматривать как функцию точки , имеющей координаты в пространственной системе координат .

Пользуясь геометрической терминологией, аналогичной той, которую мы приняли для функции двух переменных, скажем, что область определения функции есть некоторое множество точек в пространстве.

Способы задания функций трех переменных могут быть самыми различными, но важнейшим в нашем курсе будет аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выражения (формулы). При этом часто область определения функции не указывается. В последнем случае областью определения (областью задания) функции принято считать множество всех тех точек пространства, для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции .

Пример L Найти область определения функции

Решение. Данное выражение дает действительные значения и тогда и только тогда, когда

или

Областью определения функции, таким образом, является здесь шар единичного радиуса с центром в начале координат. Точки граничной шаровой поверхности относятся к области определения функции.

Аналогично можно ввести понятия функции четырех, и вообще переменных.

Определение. Переменная величина и называется функцией переменных , если:

1) задано множество систем численных значений

2) задан закон, по которому каждой системе из этого множества соответствует единственное значение .

Например, есть функция четырех переменных х, у, z и t, определенная для любых значений этих переменных; Обозначения функций переменных аналогичны обозначениям функций двух и трех переменных:

Для того чтобы сохранить удобную геометрическую терминологию функцию переменных и при также часто рассматривают как функцию точки и пишут Под точкой в таких случаях понимают просто систему чисел Числа называют при этом координатами точки Множество всех точек координатами называется пространством измерений.