§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1. Область сходимости функционального ряда

Перейдем теперь к изучению таких рядов, членами которых являются не числа, а функции, определенные в некоторой области изменения аргумента

Например,

Такие ряды называются функциональными. Придавая какое-либо значение из области определения функций получим числовой ряд

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (56). Если при ряд (57) расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.

Для одних точек, взятых из области определения функций ряд может сходиться, а для других — расходиться.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Частичная сумма функционального ряда, т. е. сумма первых его членов

является функцией переменной

Из определения области сходимости функционального ряда следует, что для любой точки этой области существует предел частичной суммы при . В точках, не принадлежащих области сходимости, частичная сумма не имеет предела. Ясно, что сумма функционального ряда является некоторой функцией переменной определенной в области сходимости ряда.

В этом случае пишут

Если функциональный ряд сходится и имеет сумму то разность называется, как и для числовых рядов, его остатком. Остаток ряда будем обозначать через Ясно, что . Остаток есть сумма

ряда, полученного из ряда (56) отбрасыванием его первых членов

Пример. Определить область сходимости функционального ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Как мы знаем, геометрическая прогрессия сходится, если и расходится, если Поэтому данный ряд сходится для тех значений для которых или

Таким образом, наш ряд сходится для всех точек для которых Область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов