2. Приближенное вычисление интегралов

Поясним сущность метода примерами.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Применить для вычисления этого интеграла формулу Ньютона—Лейбница мы не можем, так как первообразная для хотя и существует, но не выражается в элементарных функциях. Поэтому разложим подынтегральную функцию в степенной ряд (см. формулу (100)):

Этот ряд сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом сегменте и, в частности, на сегменте

Искомый интеграл равен сумме знакочередующегося ряда. Так как

то с точностью до 0,001 на основании правила оценки погрешности в случае знакочередующегося ряда (см. § 1, п. 7), имеем

Итак,

Замечание. Как мы знаем, первообразная для функции не является элементарной функцией. Ее легко получить в виде суммы степенного ряда, проинтегрировав ряд (100) почленно в границах от 0 до

Производная этой функции равна

Пример 2. Вычислить интеграл

с точностью до 0,001.

Решение. Так как

то деля почленно обе части этого равенства на получим разложение

Интегрируя обе части равенства (105), получим

Полученный ряд можно рассматривать как разность двух сходящихся знакопеременных рядов, удовлетворяющих условиям теоремы Лейбница (см. § 1, п. 6):

и

Поэтому

Но так как в знакочередующемся ряде, сходящемся по признаку Лейбница, погрешность не превосходит модуля первого из отброшенных членов и так как

то

Итак, с точностью до