5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
В гл. V, § 2, п. 3 были рассмотрены свойства функций? непрерывных на сегменте. Этими же свойствами обладают функции двух и большего числа переменных, непрерывные в ограниченной замкнутой области.
Определение. Функция называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
При этом функция считается непрерывной в граничной точке если в равенстве точка Р стремится к точке вдоль любого пути, принадлежащего данной области.
Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:
1) ограничена:
2) имеет наименьшее и наибольшее М значения;
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между .
Эту теорему мы оставляем без доказательства.
Так, например, функция которая определена и непрерывна, очевидно, в ограниченной замкнутой области
(круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице), обладает указанными в теореме свойствами!
2) наименьшее значение функции достигается на границе области определения функции, т. е. в точках окружности наибольшее значение — в начале координат
3) любое число, заключенное между нулем и единицей и М), является некоторым значением функции.
Рис. 218
Графиком функции, очевидно, является верхняя полусфера с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 218).