Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

В гл. V, § 2, п. 3 были рассмотрены свойства функций? непрерывных на сегменте. Этими же свойствами обладают функции двух и большего числа переменных, непрерывные в ограниченной замкнутой области.

Определение. Функция называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

При этом функция считается непрерывной в граничной точке если в равенстве точка Р стремится к точке вдоль любого пути, принадлежащего данной области.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:

1) ограничена:

2) имеет наименьшее и наибольшее М значения;

3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между .

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Так, например, функция которая определена и непрерывна, очевидно, в ограниченной замкнутой области

(круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице), обладает указанными в теореме свойствами!

2) наименьшее значение функции достигается на границе области определения функции, т. е. в точках окружности наибольшее значение — в начале координат

3) любое число, заключенное между нулем и единицей и М), является некоторым значением функции.

Рис. 218

Графиком функции, очевидно, является верхняя полусфера с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 218).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление