ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть в результате опыта получена таблица значений функции у для ряда значений независимой переменной х:

Предположим, что точки примерно располагаются на одной прямой. Это означает, что зависимость между близка к линейной Подберем неизвестные коэффициенты а и b так, чтобы прямая лежала по возможности ближе к каждой из нанесенных точек. Назовем отклонением в точке разность где - значение функции в точке полученное из опыта. Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что искомую прямую выбирают таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была бы наименьшей. Таким образом, неизвестные параметры а и b находят из условия, что сумма имела бы наименьшее значение.

Поскольку - постоянные числа (данные опыта), то указанная сумма есть функция параметров а и b:

Чтобы найти эти значения параметров воспользуемся необходимыми условиями экстремума функций нескольких переменных: найдем частные производные, от по а и b и приравняем их к нулю;

Следовательно, параметры а и b, для которых осуществляется наилучшее приближение (в указанном смысле), определяется из системы уравнений (1); эту систему можно переписать в следующем виде:

Для определения чисел а и мы получили систему двух уравнений первой степени. Можно доказать, что эта система всегда имеет единственное решение и что для найденных чисел а и b функция достигает минимума.

Подставляя найденные значения а и b в уравнение получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величинами полученную из опыта.

Если опытные данные таковы, что при нанесении графика они примерно располагаются по квадратной параболе, то можно искать, приближенную зависимость в форме

Для нахождения значений коэффициентов а, b и с нужно найти минимум выражения:

Нахождение минимума функции трех переменных сводится к решению системы трех уравнений первой степени:

из которых определяются неизвестные параметры а, b, с.

Пример. В табл. 1 приведены полученные из опыта значения функции при различных значениях независимой переменной х.

Таблица 1

Построив точки, убеждаемся, что они расположены примерно на одной прямой. Это значит, что зависимость между и у близка к линейной Применяя метод наименьших квадратов, найдем неизвестные параметры а и b.

Таблица 2

Вычисления располагаем, как указано в табл. 2 и составляем систему уравнений (2)

Решая эту систему, находим

Таким образом,

В табл. 2 в шестом столбце указаны значения у, вычисленные по формуле (4); седьмой столбец содержит абсолютные значения отклонений опытных данных от значений у, вычисленные по формуле (4).