6. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть - две функции, непрерывные со своими первыми производными на сегменте [а, b]

Возьмем дифференциал от их произведения:

Интегрируя это тождество в пределах от а до b, получим

Но по формуле Ньютона—Лейбница

Таким образом, равенство (32) примет следующий вид:

откуда

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Так как то формулу (33) можно записать в следующем более компактном виде:

При этом следует иметь в виду, что границы интегрирования относятся к независимой переменной

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Вычислить

Решение. Положим Тогда Применяя формулу интегрирования по частям, найдем

так как

Пример 2. Найти

Решейие. Положим откуда Следовательно, по формуле интегрирования по частям.