8. Функции четные и нечетные. Периодические функции

При исследовании функций важную роль играют некоторые их свойства. В настоящем пункте мы рассмотрим свойства четности, нечетности и периодичности, которыми обладают некоторые элементарные функции.

Определение. Функция называется четной, если для любого принадлежащего области определения этой функции.

Например, функции являются четными, так как Четной будет также степенная функция с любым четным показателем так как

Из определения четной функции следует, что две точки графика этой функции симметричны относительно оси ординат (рис. 27). А так как может быть выбрано в области определения функции произвольно, то график четной функции расположен симметрично относительно оси (см. графики функций на рис. 20 и 25).

Определение. Функция называется нечетной, если для любого принадлежащего области определения этой функции.

Например, функции будут нечетными, так как

Нечетной функцией будет также степенная функция с любым нечетным показателем:

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис. 28).

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Область определения как четной, так и нечетной функции, очевидно, симметрична относительно начала координат.

Следует иметь в виду, что далеко не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций не является ни четной, ни нечетной.

Важное значение в приложениях математики имеют периодические функции.

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое число , что в области определения функции.

При этом наименьшее из положительных чисел

Т, удовлетворяющих условию называется периодом функции . Из тригонометрии известно, что функции являются периодическими функциями. Для первых двух из них период равен , а две последние имеют период .

При исследовании периодической функции с периодом Т и построении ее графика достаточно знать значения этой функции на каком-либо сегменте длины например на сегменте (рис. 29).

Любое из остальных значений функции можно получить, пользуясь свойством периодичности этой функции. Например, зная значения функции на сегменте легко получить значение этой функции для любого (см. график функции на рис. 25).