§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Общие замечания. Постановка вопроса.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной функции . Если может быть найдена первообразная подынтегральной функции, то по формуле Ньютона — Лейбница

Если же первообразная не может быть найдена или если функция задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой сегментом оси и вертикальными прямыми проведенными через точки Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.

Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования.