3. Таблица основных интегралов

Отыскание первообразной от данной функции есть задача значительно более трудная, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В дифференциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных функций (см. гл. VI), установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного, а также сложной функции.

Эти правила позволили нам определять производные любых элементарных функций. Для отыскания первообразных от элементарных функций таких простых и универсальных правил и рецептов, как в дифференциальном исчислении, не существует. Так, например, нет никаких определенных правил для нахождения первообразных от произведения, частного двух элементарных функций, даже если первообразную каждой из этих элементарных функций мы умеем найти.

Методы интегрирования функций (т. е. нахождения первообразных) сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во многих случаях приводит к цели.

Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов. Эта таблица получается из основных формул дифференциального исчисления.

Вот эта таблица.

Вывод этих формул сводится к проверке того, «то дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой части равенства, и не представляет труда для всех формул, за исключением второй.

Докажем справедливость формулы (II). Подынтегральная функция определена и непрерывна для всех значений отличных от нуля.

Если , то . По известной формуле дифференциального исчисления имеем: Поэтому для

Если , то . Но . Следовательно, для

Таким образом, формула (II) остается справедливой в обоих случаях.