3. Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование простейших дробей I и II типов не представляет никакого труда. В самом деле:

Перейдем теперь к интегрированию рациональных дробей III и IV типов.

Рассмотрим отдельно знаменатель и дополним до полного квадрата:

Так как по условию трехчлен не имеет действительных корней, то выражение . Введем обозначение Применим теперь к интегралу замену переменной, положив . Отсюда

Следовательно,

Заменяя, наконец, их выражениями, получим

Пример.. Найти

Решение. Введем новую переменную t, положив ее равной половине производной знаменателя (см. сноску на стр. 305). Тогда

Следовательно,

Введем, как и в случае III, новую переменную t, положив . Это дает:

где, как и выше, .

Следовательно,

Первый интеграл соотношения (13) легко вычисляется.

Итак, остается вычислить интеграл Запишем этот интеграл в виде

Замечая, что получим

К интегралу применим интегрирование по частям, полагая

Подставляя найденный интеграл в формулу получим

Итак,

Полученная формула называется формулой приведения. Покажем ее применение на примере.

Пример. Найти

Решение. Здесь Применяя формулу найдем

Но по той же формуле

Так как

то

Следовательно,

Таким образом, чтобы закончить вопрос об интегрировании рациональных дробей, нам остается выяснить, как правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших.