6. Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами, , которые вектор составляет с осями координат (рис. 70). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 70

С помощью выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор . Тогда

Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:

Так как по формуле , то

Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:

откуда

т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид

Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .

Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:

По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора: