4. Эволюта и эвольвента

Если точка М перемещается по данной кривой, то соответствующий ей центр кривизны Р, вообще говоря, также описывает некоторую кривую.

Определение. Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой.

Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой или разверткой.

Зная уравнение кривой, можно по формулам (81) выразить координаты центра кривизны в зависимости от абсциссы , т. е. получить параметрические уравнения эволюты.

Исключав из этих уравнений параметр получим уравнение эволюты в форме непосредственно связывающее текущие координаты эволюты.

Пример. Найти уравнение эволюты параболы

Решение. Сначала находим первую и вторую производные данной функции а затем по формулам (81) находим параметрические уравнения эволюты:

Таким образом, параметрические уравнения эволюты имеют следующий вид

Исключая из этих уравнений параметр последовательно получим:

откуда

Мы получили уравнение эволюты, непосредственно связывающее ее текущие координаты. Эволютой параболы - оказалась полукубическая парабола. На рис. 203 изображены парабола ее эволюта.

Рис. 203

Рис. 204

Укажем (без вывода) два важных свойства эволюты и эвольвенты, устанавливающие связь между ними.

1. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте в соответствующей точке (рис. 204).

2. Если на некотором участке эвольвенты радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение радиуса кривизны на этом участке равно по абсолютной величине длине дуги соответствующего участка эволюты. Например, на рис. 204 .

Покажем, как с помощью этих свойств можно построить эвольвенту, зная ее эволюту. При этом мы будем считать, что эволюта не имеет точек перегиба.

Натянем на эволюту нерастяжимую гибкую нить, имеющую свободный (не натянутый на эволюту) прямолинейный участок .

В точке поместим карандаш. Будем теперь развертывать нить, оставляя ее в натянутом состоянии. Тогда карандаш вычертит линию, являющуюся эвольвентой для данной эволюты Очевидно, в зависимости от длины свободного участка нити мы можем для данной эволюты получить бесконечное множество различных эвольвент.