§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

1. Понятие о функции комплексной переменной

Читатель знаком с понятием комплексных чисел из средней школы. Напомним вкратце это понятие. Комплексное число имеет вид , где — действительные числа, a . Комплексное число геометрически изображается точкой плоскости координатами которой служат числа х и у. Очевидно и обратно, каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число . Поэтому плоскость будем называть комплексной плоскостью, а точку плоскости, соответствующей комплексному числу называть точкой .

Модулем комплексного числа называют действительное число Таким образом, геометрически модуль комплексного числа представляет собой расстояние точки комплексной плоскости от начала координат. Неравенству соответствует множество точек комплексной плоскости, отстоящих от начала координат на расстояние, меньшее, чем R. Иными словами, неравенству соответствует внутренность круга радиуса R с центром в начале координат.

Введем понятие функции комплексной переменной.

Определение. Комплексная переменная w называется функцией комплексной переменной если

1) задано множество G комплексных чисел

2) задан закон, по которому каждому комплексному числу из этого множества соответствует одно или несколько значений комплексной переменной

В дальнейшем будем рассматривать только однозначные функции, т. е. такие, для которых каждому значению соответствует, единственное значение

Функция комплексной переменной обозначается так же, как и функция действительной переменной:

Примером функции комплексной переменной может служить многочлен

где — натуральное число, а — комплексные числа. Эта функция определена для всех значений или, как говорят, во всей комплексной плоскости.

Функция, являющаяся отношением двух многочленов, называется рациональной функцией. Например, - рациональная функция.

На функции комплексной переменной переносятся понятия предела, непрерывности и производной.

Введем предварительно понятие окрестности точки комплексной плоскости: — окрестностью точки называется внутренность круга радиуса S с центром в точке

Комплексное число называется пределом функции при если каково бы ни было положительное число , существует такая — окрестность точки что для всех точек z комплексной плоскости, лежащих в этой окрестности (за исключением быть может точки ), выполняется неравенство

Предел функции обозначается так:

Функция называется непрерывной в точке если

Можно показать, что сумма и произведение нескольких непрерывных в данной точке функций есть функция непрерывная. Частное двух непрерывных функций будет тоже непрерывной функцией, если знаменатель в данной точке не равен нулю.

Производная от функции комплексной переменной определяется так же, как и производная функции действительной переменной, т. е. как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Пример. Найти производную функции

Решение. Имеем Применяя формулу бинома Ньютона, получим:

Найдем приращение функции:

Следовательно,

Итак,

Можно показать, что правила дифференцирования суммы, произведения и частного, выведенные для функций действительной переменной, остаются справедливыми и для функции комплексной переменной.