2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. Поэтому в общем виде его можно записать следующим образом:

Здесь — независимая переменная, у — искомая функция, а производная.

Уравнение (5) может не содержать в явном виде но обязательно содержит у.

Разрешая уравнение (5), если это возможно, относительно производной у, получим

Уравнение (6) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Замечание. Уравнение (6) можно записать в виде . В таком виде оно является частным случаем более общего уравнения

Условимся уравнение (6) также называть дифференциальным уравнением первого порядка. Например, уравнение будет дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция является решением уравнения действительно,

Как мы увидим ниже, при нахождении решения дифференциального уравнения приходится в большинстве случаев выполнять операции интегрирования. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Выясним прежде всего, каков геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка (6).

Будем рассматривать в уравнении (6) переменные х и у как декартовы координаты точки на плоскости. Пусть — решение уравнения (6). Это значит, что если в уравнение (6) подставить вместо у функцию , а вместо у производную получится тождество

Рассмотрим на графике функции , т. е. на интегральной кривой, произвольную точку и проведем в этой точке касательную. По геометрическому смыслу производной

где — угол наклона касательной к оси Ох. Из соотношений (8), (7) и (6) получаем , где — координаты точки М. Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен значению в этой точке правой части дифференциального уравнения (6).

Итак, дифференциальное уравнение (6) определяет в каждой точке направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Рассмотрим дифференциальное уравнение . В каждой точке проведем маленький отрезок, угловой коэффициент которого равен значению правой части дифференциального уравнения в этой точке: .

Определение. Часть плоскости (или вся плоскость), каждой точке которой отнесен отрезок так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой части дифференциального уравнения называется полем направлений данного дифференциального уравнения.

Таким образом, дифференциальному уравнению (6) соответствует его поле направлений.

В этом состоит геометрический смысл дифференциального уравнения (6). Проведя такие отрезки для достаточно большого числа точек, получим наглядное изображение поля направлений. Так как касательная в точке интегральной кривой имеет то же направление, что и отрезок поля в этой точке, то задачу решения (интегрирования) дифференциального уравнения (6) геометрически можно сформулировать следующим образом: провести интегральную кривую так, чтобы направление ее касательной в каждой точке совпадало с направлением отрезка поля в этой точке.

Для того чтобы облегчить построение поля направлений, найдем все те точки плоскости в которых отрезки поля имеют одно и то же направление.

Определение. Геометрическое место точек плоскости, в которых отрезки поля имеют одно и то же направление, называется изоклиной дифференциального уравнения.

Уравнение изоклины (кривой равных наклонов) найти очень легко. Действительно, в каждой точке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля имеет одно и то же значение . Так как с другой стороны , то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению

Уравнение (9) и будет уравнением изоклины дифференциального уравнения (6). Если предположить, что в уравнении (9) k может принимать различные значения, то это уравнение можно рассматривать как уравнение семейства изоклин.

Пример 1. Построить поле направлений дифференциального уравнения

Решение. Уравнения изоклин этого дифференциального уравнения будут

т. е. изоклинами здесь являются концентрические окружности радиуса с центром в начале координат.

В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью один и тот же угол а, тангенс которого равен k. Так, при изоклиной будет окружность при - окружность и т. д. При получаем . Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0; 0). В этом случае изоклина состоит только из одной точки, для которой На рис. 272 изображено поле направлений данного дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем на плоскости какую-нибудь точку

Рис. 272

Проведем через нее интегральную кривую так, чтобы она в каждой точке имела направление поля (т. е. чтобы направление касательной к ней в каждой точке совпадало с направлением отрезка поля в этой точке). На рис. 272 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0; 0) и (1; 1).

Рассмотренный пример позволяет сделать ряд выводов, которые при определенных условиях оказываются справедливыми для широкого класса дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальному уравнению (6) соответствует бесчисленное множество интегральных кривых и, следовательно, бесчисленное множество решений.

2. Для выделения из этого множества конкретной интегральной кривой надо задать точку через которую должна проходить кривая.

Иными словами, надо задать то значение которое принимает решение при значении аргумента

Задание значения искомого решения при называется начальным условием. Оно записывается обычно следующим образом

Условия, при которых дифференциальное уравнение (6) имеет решение, составляет содержание основной теоремы теории дифференциальных уравнений. Эта теорема, принадлежащая Коши, носит название теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения (6). Мы приведем эту теорему без доказательства.

Теорема. Если правая часть уравнения и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных х и у, то какова бы ни была внутренняя точка этой области, данное уравнение имеет единственное решение принимающее при заданное значение

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку области G проходит единственная интегральная кривая.

Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши.

Точки плоскости, в которых не выполняются условия теоремы существования и единственности решения, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв или функция или ее частная производная . Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Здесь правая часть и ее частная производная непрерывны при Таким образом, во всей плоскости за исключением оси правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси являются особыми.

Легко проверить, что решением этого уравнения будет функция зависящая от произвольной постоянной С. Это решение называется общим. При конкретных значениях постоянной С будем получать частные решения.

Например, при при и т.д. Для решения задачи Коши задаем начальное условие: . Подставляя в общее решение вместо их значения получим соотношение для определения постоянной

Отсюда и соответствующее частное решение

Общее решение геометрически представляет собой совокупность всех прямых, проходящих через начало координат, за исключением оси Через каждую точку, не лежащую на оси проходит единственная прямая (интегральная кривая).

Через начало координат проходит бесчисленное множество интегральных кривых. Нарушение единственности объясняется тем, что начало координат является особой точкой. Отметим также, что через особые точки, лежащие на оси и не совпадающие с началом координат, не проходит ни одной интегральной кривой.

Дадим теперь определения общего и частного решений дифференциального уравнения (6), правая часть которого f(x, у) удовлетворяет в некоторой области G условиям теоремы Коши.

Определение. Функция , зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения (6) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству, функция является решением уравнения (6);

2) какова бы ни была точка лежащая внутри области G, существует единственное значение постоянной такое, что решение удовлетворяет начальному условию у

Значение можно найти из уравнения

Определение. Всякое решение уравнения (6), получающееся общего решения при конкретном значении называется частным решением.

Замечание. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно у, т. е. в виде , то оно называется общим интегралом - дифференциального уравнения.

Перейдем теперь к рассмотрению методов нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Вообще не существует единого метода нахождения решений уравнения (6) для любой правой части f(х, у). Поэтому мы рассмотрим методы решения (методы интегрирования) этого уравнения лишь в некоторых частных случаях.